Der Spieler gewinnt nur, falls er dreimal hintereinander "Gewinn" zieht. Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen, da der Spieler am Ende des Spieles seine drei Gewinnerlose vorzeigen muss. Daher ist die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug einen "Gewinn" zu ziehen $\frac{5}{10}$, beim zweiten Zug $\frac{4}{9}$ und beim dritten Zug $\frac3{8}$. Um die Gewinnwahrscheinlichkeit auszurechnen, musst du diese Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

$\mathrm{P("Gewinn")}=\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}=\frac{60}{720}=\frac{1}{12}\approx 8{,}3\%$

Das Spiel ist dann fair, wenn der erwartete Gewinn des Spielers $2\ €$ ist. Denn in diesem Fall erhält der Spieler seinen Einsatz von $2\ €$ zurück und macht keinen Verlust, genauso wie der Anbieter des Spieles.

Um den Erwartungswert auszurechnen, braucht man nur den Fall betrachten, dass der Spieler dreimal "Gewinn" zieht, denn nur hier hat er einen Gewinn. In den anderen Fällen ist der Gewinn $0$ und dementsprechend muss die Wahrscheinlichkeit hier nicht berechnet werden, da sie bei Berechnung des Erwartungswertes mit $0$ multipliziert werden würde. Bezeichne mit $\text X$ die Zufallsgröße, die den Gewinn des Spieles angibt, d.h. entweder $0$ (kein Gewinn) oder y (Gewinn). Nach der Formel für den Erwartungswert gilt dann:

Also müsste der Gewinn $24\ €$ betragen, um ein faires Spiel zu erhalten.