Hier ist $\Omega =\left\{\mathrm{1,2,3,4,5,6}\right\}$ und $X(\mathrm{\omega })=\mathrm{\omega }$.

Benutze die Formel für den Erwartungswert:

Die 1 wird zu einer 7, dadurch verschieben sich die Werte der Zufallsgröße von $\Omega =\left\{\mathrm{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}\right\}$ zu $\Omega =\left\{\mathrm{4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}\right\}$

$${\displaystyle \begin{array}{cccccccccccc}x& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14\\ \text{P}(\text{X}=x)& \frac{1}{36}& \frac{2}{36}& \frac{3}{36}& \frac{4}{36}& \frac{5}{36}& \frac{6}{36}& \frac{5}{36}& \frac{4}{36}& \frac{3}{36}& \frac{2}{36}& \frac{1}{36}\end{array}}$$

Damit ergibt der Erwartungswert für dieses Experiment.

$${\displaystyle \begin{array}{ccl}\text{E}(\text{X})& =& 4\cdot \frac{1}{36}+5\cdot \frac{2}{36}+6\cdot \frac{3}{36}+7\cdot \frac{4}{36}+8\cdot \frac{5}{36}+9\cdot \frac{6}{36}\\ & & +10\cdot \frac{5}{36}+11\cdot \frac{4}{36}+12\cdot \frac{3}{36}+13\cdot \frac{2}{36}+14\cdot \frac{1}{36}\\ & =& 9\end{array}}$$

Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Der Erwartungswert einer Bernoulli-Kette beträgt $n\cdot p$. Hier ist $n=15$ und $p$ die Wahrscheinlichkeit:

1) p bei einem einzelnen Wurf eine 3 zu werfen liegt bei $\frac{1}{6}$.

$\Rightarrow E(X)=15\cdot \frac{1}{6}=\frac{15}{6}=\mathrm{2,5}$

2) p bei einem einzelnen Wurf mindestens eine 4 zu werfen liegt bei $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

$\Rightarrow E(X)=15\cdot \frac{1}{2}=\frac{15}{2}=\mathrm{7,5}$

3) p bei einem einzelnen Wurf höchstens eine 4 zu werfen liegt bei $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

$\Rightarrow E(X)=15\cdot \frac{2}{3}=\frac{30}{3}=10$

4) Um einen Erwartungswert von $\mathrm{12,5}$ zu erhalten, benötigt man die

Wahrscheinlichkeit p von einem einzelnen Wurf:

$\Rightarrow p=\frac{E(X)}{X}=\frac{\mathrm{12,5}}{15}=\frac{5}{6}$

Nun benötigen wir ein Ereignis, welches in $\frac{5}{6}$ der Fälle eintritt.

In unserem Beispiel wäre das, dass man höchstens eine 5 würfelt