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Verteilungsfunktion

Bild

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße XX ordnet jeder reellen Zahl kk die Wahrscheinlichkeit zu, mit der XX höchstens den Wert kk annimmt.

Man schreibt für die Verteilungsfunktion zur Zufallsgröße XX:

Eigenschaften

  • P(X>k)=1−P(X≤k)P(X>k)=1-P(X \leq k)

  • P(a<X≤b)=P(X≤b)−P(X≤a)P(a<X \leq b)=P(X \leq b)-P(X \leq a)

  • FXF_X ist monoton wachsend

  • FXF_X ist rechtsseitig stetig

Rechtsseitig stetig bedeutet, dass der rechtsseitige Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist:

Beispiele

  1. Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Augenzahl kleiner oder gleich 4 ist? Zeichne ein Säulendiagramm für P(X=k)P(X=k) und FX(k)=P(X≤k)F_X(k)=P(X\leq k).

Lösung

Zuerst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augenzahlen:

kk

1

2

3

4

5

6

P(X=k)P(X=k)

16\frac{1}{6}

16\frac{1}{6}

16\frac{1}{6}

16\frac{1}{6}

16\frac{1}{6}

16\frac{1}{6}

Diagramm

P(X≤4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=23P(X \leq 4) = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=\frac23

Blau: P(X=k)P(X=k)

Orange: P(X≤k)P(X\leq k)

  1. Ein Spieler einer Fußballmannschaft wird verletzt. Normalerweise dauert die Genesung zwischen 55 und 1010 Tagen. Die Zufallsgröße XX beschreibe die Anzahl der benötigten Tage für die Heilung. Die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch:

kk

<5<5

5

6

7

8

9

10

>10>10

P(X=k)P(X=k)

0

0,1

0,25

0,31

0,23

0,08

0,03

0

Die Presse möchte wissen, ob der Spieler für das Spiel in 88 Tagen wieder spielfähig ist.

Lösung:

P(X≤8)=P(X<5)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0+0,1+0,25+0,31+0,23=0,89P(X \leq 8)= P(X <5) +P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0+0{,}1+0{,}25+0{,}31+0{,}23=0{,}89

Darts

  1. Ein Dartspieler trifft das Bullseye mit einer Wahrscheinlichkeit von 40  %40\;\%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei 55 Würfen mehr als 11 Treffer? Gib außerdem die Verteilungsfunktion an.

Lösung

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Treffer mit der Binomialverteilung:

kk

0

1

2

3

4

5

P(X=k)P(X=k)

0,07776

0,2592

0,3456

0,2304

0,0768

0,01024

P(X>1)=1−P(X≤1)=1−(P(X=0)+P(X=1))=1−P(X=0)−P(X=1)=1−0,07776−0,2592=0,66304P(X>1)=1-P(X\le1)=1-(P(X=0)+P(X=1))=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0{,}07776-0{,}2592=0{,}66304

Die Verteilungsfunktion FXF_X ist gegeben durch:

Übungsaufgaben: Verteilungsfunktion

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion

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