Aufgaben zur Konstruierbarkeit von Dreiecken

Benenne ein beliebiges Dreieck

Markiere die bekannten Größen. Man sieht in der Skizze, dass das Dreieck die Voraussetzung des WSW-Satzes erfüllt. Deshalb ist es eindeutig konstruierbar.

Zeichne eine Gerade und auf ihr irgendwo den Punkt A ein.

Zeichne einen Kreis um A, dessen Radius genauso groß ist wie die Länge der Seite c.

Der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden ist der Punkt B.

Zeichne an A einen 50° Winkel.

Zeichne an B einen 60° Winkel.

Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist der Punkt C des Dreiecks.

Somit hat man das Dreieck eindeutig konstruiert.

Benenne ein beliebiges Dreieck

Markiere die bekannten Größen.

Man sieht in der Skizze, dass das Dreieck die Voraussetzung des SWS-Satzes erfüllt.

Deshalb ist es eindeutig konstruierbar.

Zeichne eine Gerade und auf ihr irgendwo den Punkt C ein.

Zeichne einen Kreis um C, dessen Radius genauso groß ist wie die Länge der Seite b.

Der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden ist der Punkt A.

Konstruiere an C einen 30° Winkel .

Zeichne um C einen Kreis, dessen Radius so groß ist wie die Seite a.

Der Schnittpunkt des Kreises mit dem eben konstruierten Schenkel ist der Punkt B.

Verbinde die Punkte A und B. Diese Strecke ist die Seite c.

Das Dreieck ABC ist das gesuchte Dreieck.

Benenne ein beliebiges Dreieck und markiere die bekannten Größen.

Laut Skizze kommt nur der SsW-Satz in Frage. Es muss also noch überprüft werden, ob die Seite, die dem gegebenen Winkel gegenüberliegt größer ist als die andere Seite.

Der Punkt $C$ liegt auf dem zweiten Schenkel des Winkels $4$cm von $A$ entfernt.

Zeichne einen Kreis um $C$ mit dem Radius $5$cm. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit dem Strahl von $A$ aus ist der Punkt $B.$

Die Strecke AB ist die Seite c.

Verbinde den Punkt $B$ mit dem Punkt $C$. Diese Strecke ist die Seite $a$.

Das Dreieck $ABC$ ist das gesuchte Dreieck

Benenne ein beliebiges Dreieck

Markiere die bekannten Größen.

Man sieht in der Skizze, dass das Dreieck die Voraussetzung des SSS-Satzes erfüllt.

Deshalb wäre es eindeutig konstruierbar.

ABER:

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$a = 3cm$

$b = 4cm$

$a + b = 3cm + 4cm = 7cm$

aber:

$c=8cm$

$\rightarrow c>a+b$

Da die Seite c größer als die Summe der anderen beiden Seiten ist, existiert dieses Dreieck nicht!

Versucht man das Dreieck dennoch zu konstruieren (ohne die Dreiecksungleichung beachtet zu haben), stellt man fest, dass sich die Kreise die den Seiten a und b entsprechen nicht schneiden, es also kein Punkt C gibt.

Das Dreieck entspricht dem SSS-Satz, ist also prinzipiell konstruierbar.

Überprüfe nun noch, ob die beiden kürzeren Seiten zusammen größer als die lange Seite ist. Nur dann existiert das Dreieck überhaupt!

$a = 3 \; cm, \; \; b = 5cm, \; \; c = 6cm$

$a + b = 3\; cm + 5 \; cm = 8 \; cm$

$8\;cm > 6 \;cm$

$\rightarrow a + b > c$

Da $a+b>c$ ist, existiert das Dreieck und ist nach dem SSS-Satz auch konstruierbar!

Das Dreieck entspricht dem SSS-Satz, ist also prinzipiell konstruierbar.

Überprüfe nun noch, ob die beiden kürzeren Seiten zusammen größer als die lange Seite ist. Nur dann existiert das Dreieck überhaupt!

$a = 5 \; cm, \; \; b = 4 \;cm, \; \; c = 10 \;cm$

$a + b = 5\; cm + 4 \; cm = 9 \; cm$

$9\;cm < 10\;cm$

$\rightarrow a + b < c$

Da $a+b <c$ sind, existiert das Dreieck nicht und du kannst es daher auch nicht konstruieren. Die beiden Seiten $a$ und $b$ haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Da eine Seite und die zwei anliegenden Winkel gegeben sind, kannst du den WSW-Satz erkennen.

Dreiecke, die dem WSW-Satz entsprechen, sind eindeutig konstruierbar!

Du hast zwei Seiten und den Winkel dazwischen gegeben. Daher entspricht das Dreieck dem SWS-Satz!

Nach dem SWS-Satz ist das Dreieck eindeutig konstruierbar!

Du hast zwei Seiten und einen Winkel gegeben. Der Winkel liegt nicht zwischen den gegebenen Seiten. Es handelt sich also entweder um den SsW oder um den sSW Satz.

Überprüfe, ob der Winkel gegenüber der großen (SsW-Satz) oder gegenüber der kleinen (sSW-Satz) liegt.

$a = 3 \; cm, \; \; b = 7 \; cm$

Du kannst schnell sehen, dass $b$ die größere der beiden Seiten ist. Diese liegt gegenüber von $\beta$.

Du weißt jetzt also, dass es sich um den SsW-Satz handelt.

Dreiecke, die dem SsW-Satz entsprechen, sind eindeutig konstruierbar. Deshalb weißt du, dass dieses Dreieck konstruierbar ist!

Du hast zwei Seiten und einen Winkel gegeben. Der Winkel liegt nicht zwischen den gegebenen Seiten. Es handelt sich also entweder um den SsW oder um den sSW Satz.

Überprüfe, ob der Winkel gegenüber der großen (SsW-Satz) oder gegenüber der kleinen (sSW-Satz) liegt.

$a = 7 \; cm, \; \; b = 3 \; cm$

Du kannst schnell sehen, dass $a$ die größere der beiden Seiten ist. Diese liegt neben $\beta$.

Du weißt jetzt also, dass es sich um den sSW-Satz handelt.

Dreiecke, die dem sSW-Satz entsprechen, sind nicht eindeutig konstruierbar. Es gibt immer zwei Möglichkeiten, sie mit diesen Angaben zu zeichnen.

Alle drei Winkel sind angegeben, es handelt sich also um den WWW-Satz.

Dreiecke, sind nach dem WWW-Satz nicht eindeutig konstruierbar.

Es müsste noch eine Seite angegeben sein, um die Größe des Dreiecks zu bestimmen.

Mögliche Kongruenzsätze:

SWS

SsW

SSS

Überlege dir, welche Angabe Julia nun noch für die verschiedenen Kongruenzsätze ausmessen sollte.

Gehe davon aus, dass die Strecke mit $2 \; m$ die Strecke $b$ ist und die Strecke $a=1{,}50 \; m$.

Für den SWS Satz wird der Winkel $\gamma$ benötigt.

Für den SSS Satz wird die dritte Seite $c$ benötigt.

Für den SsW-Satz wird der Winkel $\beta$ benötigt.

Julia kann also eine der folgenden Angaben ausmessen:

den Winkel $\gamma$,

die Strecke $c$,

den Winkel $\beta$

Durch jede dieser drei Angaben wird das Dreieck eindeutig zu konstruieren und ist somit ausreichend beschrieben.