Als Substitution bezeichnet man, wenn in einem Term ein Teil $\left(\mathrm{das}\;x^2\;\mathrm{in}\;3x^2+2\right)$ durch einen neuen Term (z.B. "z") ersetzt wird. In vielen Fällen kann man durch eine Substitution ein Problem vereinfachen, weil nach dem Ersetzen ein Verfahren wie z. B. die Mitternachtsformel/1549 angewendet werden kann.

Als Resubstitution bezeichnet man das Rückgängigmachen dieses Vorgangs. Hat man z.B. in einem Term x mit t-1 substituiert, so ist die Substitution von t durch x+1 die Rücksubstitution (die Gleichung x=t-1 kann man zu t=x+1 umformen)

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung

$x^4-3x^2+2=0$

Diese Gleichung lässt sich lösen, indem man $x^2$ durch z ersetzt (substituiert).

Da $x^4=\left(x^2\right)^2\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm{Substitution}:\;x^4\;\mathrm{wird}\;\mathrm{zu}\;z^2$

$z^2-3z+2=0$

Bestimme die Lösungen der Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel/1549 oder dem Satz von Vieta/1607 .

$z_1=1$ und $z_2=2$

Resubstitution: …

Da wir $x^2=z$ = (also $x=\pm\sqrt z$ ) gesetzt hatten können wir die vier Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x_1=\sqrt1=1\\x_2=-\sqrt1=-1\\x_3=\sqrt2\\x_4=-\sqrt2\end{array}$

Video

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