Als Substitution bezeichnet man, wenn in einem Term ein Teil $(\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{s}{x}^2\mathrm{i}\mathrm{n}3x^2+2)\backslash left(\backslash mathrm\{das\}\backslash ;x^2\backslash ;\backslash mathrm\{in\}\backslash ;3x^2+2\backslash right)$ durch einen neuen Term (z.B. "z") ersetzt wird. In vielen Fällen kann man durch eine Substitution ein Problem vereinfachen, weil nach dem Ersetzen ein Verfahren wie z. B. die Mitternachtsformel/1549 angewendet werden kann.

Als Resubstitution bezeichnet man das Rückgängigmachen dieses Vorgangs. Hat man z.B. in einem Term x mit t-1 substituiert, so ist die Substitution von t durch x+1 die Rücksubstitution (die Gleichung x=t-1 kann man zu  t=x+1 umformen)

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung

$x^4-3x^2+2=0x^4-3x^2+2=0$

Diese Gleichung lässt sich lösen, indem man $x^{2}x^2$ durch z ersetzt (substituiert).

Da $x^4={\left(x^2\right)}^2\Rightarrow \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}:x^4\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{z}\mathrm{u}{z}^{2}x^4=\backslash left(x^2\backslash right)^2\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\backslash mathrm\{Substitution\}:\backslash ;x^4\backslash ;\backslash mathrm\{wird\}\backslash ;\backslash mathrm\{zu\}\backslash ;z^2$

$z^2-3z+2=0z^2-3z+2=0$

Bestimme die Lösungen der Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel/1549 oder dem Satz von Vieta/1607 .

$z_1=1z\_1=1$   und  $z_2=2z\_2=2$

Resubstitution: …

Da wir $x^2=zx^2=z$ = (also $x=\pm \sqrt{z}x=\backslash pm\backslash sqrt\; z$ ) gesetzt hatten können wir die vier Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmen:

$\begin{array}{c}{x}_1=\sqrt{1}=1\\ x_2=-\sqrt{1}=-1\\ x_3=\sqrt{2}\\ x_4=-\sqrt{2}\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}x\_1=\backslash sqrt1=1\backslash \backslash x\_2=-\backslash sqrt1=-1\backslash \backslash x\_3=\backslash sqrt2\backslash \backslash x\_4=-\backslash sqrt2\backslash end\{array\}$

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