Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform
Zum Inhalt

Strahlensatz (Vierstreckensatz)


Von Legacy 1.3.2014, 19:48:35

Titel 🟠

Strahlensatz

Inhalt 🟠

Die Strahlensätze sind direkte Folgerungen aus der zentrischen Streckung/1931 .

 

Man kann zwischen 4 Strahlensätzen unterscheiden. Zwei an der "V-Figur" und zwei an der "X-Figur". (Eine Aufteilung zwischen "V-" und "X-Figur" ist aber nicht notwendig)

Geogebra File: /uploads/legacy/4382_A9nrBzowUA.xml
Alt: Geogebra File: /uploads/legacy/4382_A9nrBzowUA.xmlLink: (kein Link)

Die Strahlensätze

Voraussetzung

Damit die Strahlensätze gelten, müssen alle drei Voraussetzungen erfüllt sein:

**richtig** **falsch**

 

 

 

Zwei Geraden g und h, die sich in einem Punkt Z schneiden.

Geogebra File: /uploads/legacy/4396_e91ZbfzFRo.xml
Alt: Geogebra File: /uploads/legacy/4396_e91ZbfzFRo.xmlLink: (kein Link)
Geogebra File: /uploads/legacy/4392_tJl77uEcCT.xml
Alt: Geogebra File: /uploads/legacy/4392_tJl77uEcCT.xmlLink: (kein Link)

 

 

 

Diese beiden werden von zwei paralleln Geraden wieder

 

geschnitten.

Geogebra File: /uploads/legacy/4404_WO0nDHdlgd.xml
Alt: Geogebra File: /uploads/legacy/4404_WO0nDHdlgd.xmlLink: (kein Link)
Geogebra File: /uploads/legacy/4406_rz5dEM7Zrh.xml
Alt: Geogebra File: /uploads/legacy/4406_rz5dEM7Zrh.xmlLink: (kein Link)

 

 

 

Wobei keine der beiden parallelen Geraden durch den

 

Schnittpunkt der ersten beiden Geraden geht.

Geogebra File: /uploads/legacy/4412_GIfGPKqM9O.xml
Alt: Geogebra File: /uploads/legacy/4412_GIfGPKqM9O.xmlLink: (kein Link)
Geogebra File: /uploads/legacy/4418_2BNiaMOdRe.xml
Alt: Geogebra File: /uploads/legacy/4418_2BNiaMOdRe.xmlLink: (kein Link)

Aussage

Wenn die oben genannten Voraussetzungen erfüllt sind, dann gelten folgende Aussagen:

V-Figur

Geogebra File: /uploads/legacy/4436_OwrOF6T8Yf.xml
Alt: Geogebra File: /uploads/legacy/4436_OwrOF6T8Yf.xmlLink: (kein Link)

1.Strahlensatz

2. Strahlensatz

A2ZA1Z=B2ZB1Z\frac{\overline{A_2Z}}{\overline{A_1Z}}=\frac{\overline{B_2Z}}{\overline{B_1Z}} und  A2ZA2A1=B2ZB2B1\frac{\overline{A_2Z}}{\overline{A_2A_1}}=\frac{\overline{B_2Z}}{\overline{B_2B_1}}   und   A2A1A1Z=B2B1B1Z\frac{\overline{A_2A_1}}{\overline{A_1Z}}=\frac{\overline{B_2B_1}}{\overline{B_1Z}}

A2ZA1Z=B2ZB1Z=A2B2A1B1\frac{\overline{A_2Z}}{\overline{A_1Z}}=\frac{\overline{B_2Z}}{\overline{B_1Z}}=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}

"Das Längenverhältnis zweier Strecken auf dem einen Strahl ist gleich dem Längenverhältnis der beiden entsprechenden Seiten auf dem anderen Strahl "

"Das Längenverhältnis der beiden Parallelstrecken ist gleich dem Längenverhältnis der auf ein und dem selben Strahl liegenden Wege zwischen dem Strahlenzentrum und der entsprechenden Parallele"

Geogebra File: /uploads/legacy/5511_QoMc1TTncS.xml
Alt: Geogebra File: /uploads/legacy/5511_QoMc1TTncS.xmlLink: (kein Link)

X-Figur

Geogebra File: /uploads/legacy/4438_W6hIHrQXri.xml
Alt: Geogebra File: /uploads/legacy/4438_W6hIHrQXri.xmlLink: (kein Link)

1. Strahlensatz

2. Strahlensatz

A2ZA1Z=B2ZB1Z\frac{\overline{A_2Z}}{\overline{A_1Z}}=\frac{\overline{B_2Z}}{\overline{B_1Z}} und A2A1A2Z=B2B1B2Z\frac{\overline{A_2A_1}}{\overline{A_2Z}}=\frac{\overline{B_2B_1}}{\overline{B_2Z}} und A2A1A1Z=B2B1B1Z\frac{\overline{A_2A_1}}{\overline{A_1Z}}=\frac{\overline{B_2B_1}}{\overline{B_1Z}}

A2ZA1Z=B2ZB1Z=A2B2A1B1\frac{\overline{A_2Z}}{\overline{A_1Z}}=\frac{\overline{B_2Z}}{\overline{B_1Z}}=\frac{\overline{A_2B_2}}{\overline{A_1B_1}}

"Das Längenverhältnis zweier Strecken auf der einen Gerade ist gleich dem Längenverhältnis der beiden entsprechenden Seiten auf der anderen Gerade"

"Das Längenverhältnis der beiden Parallelstrecken ist gleich dem Längenverhältnis der auf ein und der selben Gerade liegenden Wege zwischen dem Strahlenzentrum und der entsprechenden Parallele"

Umkehrung der Strahlensätze

1. Strahlensatz

2. Strahlensatz

Umkehrung:   wahr

Umkehrung:  falsch

Wenn die Streckenverhältnisse wie im 1. Strahlensatz (gilt sowohl für "X" also auch für "V-Figur") sind, dann sind die beiden Geraden parallel.

Wenn die Streckenverhältnisse wie im 2. Strahlensatz (gilt sowohl für "X" also auch für "V-Figur") sind, dann müssen die beiden Geraden nichtparallel sein.