Die Strahlensätze sind direkte Folgerungen aus der zentrischen Streckung/1931 .

Man kann zwischen 4 Strahlensätzen unterscheiden. Zwei an der "V-Figur" und zwei an der "X-Figur". (Eine Aufteilung zwischen "V-" und "X-Figur" ist aber nicht notwendig)

Die Strahlensätze

Voraussetzung

Damit die Strahlensätze gelten, müssen alle drei Voraussetzungen erfüllt sein:

**richtig** **falsch**

Zwei Geraden g und h, die sich in einem Punkt Z schneiden.

Diese beiden werden von zwei paralleln Geraden wieder

geschnitten.

Wobei keine der beiden parallelen Geraden durch den

Schnittpunkt der ersten beiden Geraden geht.

Aussage

Wenn die oben genannten Voraussetzungen erfüllt sind, dann gelten folgende Aussagen:

V-Figur

1.Strahlensatz

2. Strahlensatz

$\frac{\overline{A_{2}Z}}{\overline{A_{1}Z}}=\frac{\overline{B_{2}Z}}{\overline{B_{1}Z}}\backslash frac\{\backslash overline\{A\_2Z\}\}\{\backslash overline\{A\_1Z\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{B\_2Z\}\}\{\backslash overline\{B\_1Z\}\}$ und  $\frac{\overline{A_{2}Z}}{\overline{A_2{A}_1}}=\frac{\overline{B_{2}Z}}{\overline{B_2{B}_1}}\backslash frac\{\backslash overline\{A\_2Z\}\}\{\backslash overline\{A\_2A\_1\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{B\_2Z\}\}\{\backslash overline\{B\_2B\_1\}\}$   und   $\frac{\overline{A_2{A}_1}}{\overline{A_{1}Z}}=\frac{\overline{B_2{B}_1}}{\overline{B_{1}Z}}\backslash frac\{\backslash overline\{A\_2A\_1\}\}\{\backslash overline\{A\_1Z\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{B\_2B\_1\}\}\{\backslash overline\{B\_1Z\}\}$

$\frac{\overline{A_{2}Z}}{\overline{A_{1}Z}}=\frac{\overline{B_{2}Z}}{\overline{B_{1}Z}}=\frac{\overline{A_2{B}_2}}{\overline{A_1{B}_1}}\backslash frac\{\backslash overline\{A\_2Z\}\}\{\backslash overline\{A\_1Z\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{B\_2Z\}\}\{\backslash overline\{B\_1Z\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{A\_2B\_2\}\}\{\backslash overline\{A\_1B\_1\}\}$

"Das Längenverhältnis zweier Strecken auf dem einen Strahl ist gleich dem Längenverhältnis der beiden entsprechenden Seiten auf dem anderen Strahl "

"Das Längenverhältnis der beiden Parallelstrecken ist gleich dem Längenverhältnis der auf ein und dem selben Strahl liegenden Wege zwischen dem Strahlenzentrum und der entsprechenden Parallele"

X-Figur

1. Strahlensatz

2. Strahlensatz

$\frac{\overline{A_{2}Z}}{\overline{A_{1}Z}}=\frac{\overline{B_{2}Z}}{\overline{B_{1}Z}}\backslash frac\{\backslash overline\{A\_2Z\}\}\{\backslash overline\{A\_1Z\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{B\_2Z\}\}\{\backslash overline\{B\_1Z\}\}$ und $\frac{\overline{A_2{A}_1}}{\overline{A_{2}Z}}=\frac{\overline{B_2{B}_1}}{\overline{B_{2}Z}}\backslash frac\{\backslash overline\{A\_2A\_1\}\}\{\backslash overline\{A\_2Z\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{B\_2B\_1\}\}\{\backslash overline\{B\_2Z\}\}$ und $\frac{\overline{A_2{A}_1}}{\overline{A_{1}Z}}=\frac{\overline{B_2{B}_1}}{\overline{B_{1}Z}}\backslash frac\{\backslash overline\{A\_2A\_1\}\}\{\backslash overline\{A\_1Z\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{B\_2B\_1\}\}\{\backslash overline\{B\_1Z\}\}$

$\frac{\overline{A_{2}Z}}{\overline{A_{1}Z}}=\frac{\overline{B_{2}Z}}{\overline{B_{1}Z}}=\frac{\overline{A_2{B}_2}}{\overline{A_1{B}_1}}\backslash frac\{\backslash overline\{A\_2Z\}\}\{\backslash overline\{A\_1Z\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{B\_2Z\}\}\{\backslash overline\{B\_1Z\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{A\_2B\_2\}\}\{\backslash overline\{A\_1B\_1\}\}$

"Das Längenverhältnis zweier Strecken auf der einen Gerade ist gleich dem Längenverhältnis der beiden entsprechenden Seiten auf der anderen Gerade"

"Das Längenverhältnis der beiden Parallelstrecken ist gleich dem Längenverhältnis der auf ein und der selben Gerade liegenden Wege zwischen dem Strahlenzentrum und der entsprechenden Parallele"

Umkehrung der Strahlensätze

1. Strahlensatz

2. Strahlensatz

Umkehrung:   wahr

Umkehrung:  falsch

Wenn die Streckenverhältnisse wie im 1. Strahlensatz (gilt sowohl für "X" also auch für "V-Figur") sind, dann sind die beiden Geraden parallel.

Wenn die Streckenverhältnisse wie im 2. Strahlensatz (gilt sowohl für "X" also auch für "V-Figur") sind, dann müssen die beiden Geraden nichtparallel sein.