Strahlensatz (Vierstreckensatz)

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Die Strahlensätze sind direkte Folgerungen aus der zentrischen Streckung.

Grundsätzlich lassen sich die Strahlensätze bei zwei Arten von Figuren anwenden, bei sogenannten "V−Figuren" und "X−Figuren".

Die Strahlensätze

Voraussetzung

Um die Strahlensätze anzuwenden, müssen alle drei Voraussetzungen erfüllt sein:

richtig

falsch

Zwei Geraden $\sf g$ und $\sf h$ , die sich in einem Punkt $\sf Z$ schneiden.

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Diese beiden werden von zwei parallelen Geraden geschnitten.

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Wobei keine der beiden parallelen Geraden durch den Schnittpunkt der ersten beiden Geraden geht.

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Aussage

Wenn die oben genannten Voraussetzungen erfüllt sind, dann gelten folgende Aussagen:

V-Figur

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1.Strahlensatz 2.Strahlensatz

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\displaystyle \sf \dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}} \hspace{0.2cm} \text{\sf und}\hspace{0.2cm} \dfrac{\overline{AA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{BB'}}{\overline{ZB}} \hspace{1.6cm} \dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}=\dfrac{\overline{B'A'}}{\overline{BA}}

X-Figur

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1.Strahlensatz 2.Strahlensatz

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\displaystyle \sf \dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}} \hspace{0.2cm} \text{\sf und}\hspace{0.2cm} \dfrac{\overline{AA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{BB'}}{\overline{ZB}} \hspace{1.6cm} \dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}=\dfrac{\overline{B'A'}}{\overline{BA}}

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Umkehrung der Strahlensätze

Umkehrung des 1. Strahlensatzes: Gelten die oben beschriebenen Streckenverhältnisse des 1. Strahlensatzes, dann sind die beiden Geraden $\sf g$ und $\sf h$ parallel.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nur für den 1. Strahlensatz und nicht für den 2. Strahlensatz der "V−Figuren" und "X−Figuren".

Wenn die oben beschriebenen Streckenverhältnisse des 2. Strahlensatzes gelten, dann müssen die beiden Geraden $\sf g$ und $\sf h$ nicht unbedingt parallel sein.

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