Strahlensatz (Vierstreckensatz)

Die Strahlensätze sind direkte Folgerungen aus der zentrischen Streckung.

Grundsätzlich lassen sich die Strahlensätze bei zwei Arten von Figuren anwenden, bei sogenannten "V−Figuren" und "X−Figuren".

Die Strahlensätze

Voraussetzung

Um die Strahlensätze anzuwenden, müssen alle drei Voraussetzungen erfüllt sein:

richtig

falsch

Zwei Geraden $\sf g$ und $\sf h$ , die sich in einem Punkt $\sf Z$ schneiden.

Diese beiden werden von zwei parallelen Geraden geschnitten.

Wobei keine der beiden parallelen Geraden durch den Schnittpunkt der ersten beiden Geraden geht.

Aussage

Wenn die oben genannten Voraussetzungen erfüllt sind, dann gelten folgende Aussagen:

V-Figur

1.Strahlensatz 2.Strahlensatz

\displaystyle \sf \dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}} \hspace{0.2cm} \text{\sf und}\hspace{0.2cm} \dfrac{\overline{AA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{BB'}}{\overline{ZB}} \hspace{1.6cm} \dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}=\dfrac{\overline{B'A'}}{\overline{BA}}

X-Figur

1.Strahlensatz 2.Strahlensatz

\displaystyle \sf \dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}} \hspace{0.2cm} \text{\sf und}\hspace{0.2cm} \dfrac{\overline{AA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{BB'}}{\overline{ZB}} \hspace{1.6cm} \dfrac{\overline{ZA'}}{\overline{ZA}}=\dfrac{\overline{ZB'}}{\overline{ZB}}=\dfrac{\overline{B'A'}}{\overline{BA}}

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Umkehrung der Strahlensätze

Umkehrung des 1. Strahlensatzes: Gelten die oben beschriebenen Streckenverhältnisse des 1. Strahlensatzes, dann sind die beiden Geraden $\sf g$ und $\sf h$ parallel.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nur für den 1. Strahlensatz und nicht für den 2. Strahlensatz der "V−Figuren" und "X−Figuren".

Wenn die oben beschriebenen Streckenverhältnisse des 2. Strahlensatzes gelten, dann müssen die beiden Geraden $\sf g$ und $\sf h$ nicht unbedingt parallel sein.

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