Ungleichungen lösen

Lösen von Ungleichungen

Eine Ungleichung ist grundsätzlich wie eine Gleichung zu behandeln. Gesucht sind diejenigen Werte für $x$, sodass die Gleichung/Ungleichung eine wahre Aussage liefert. Die Ungleichung

besitzt mehrere Lösungen, was durch Einsetzen von $x_1=4$ oder $x_2=3$ erkannt werden kann. Interessant ist es bei Ungleichungen jedoch alle Lösungen zu bestimmen. Wie bei Gleichungen formt man die Ungleichung systematisch um:

$\Rightarrow$ Alle Werte für $x$, die kleiner oder gleich $4$ sind, erfüllen die Ungleichung.

Multiplikation/Division mit negativen Zahlen

Um eine Ungleichung zu lösen, geht man wie bei Gleichungen vor.

Allerdings ist die Multiplikation (oder Division) mit einer negativen Zahl ein besonderer Fall, der im Folgenden erläutert wird:

Jetzt ist der Fall, dass durch eine negative Zahl geteilt wird. Warum ist dieser Fall so besonders?

Man erwartet, dass die folgende Zeile so lautet:

Dann müsste $1$ in der Lösungsmenge liegen, da $1$ größer ist als $-\frac12$.

Probe:

$\quad3\cdot1>5\cdot1+1\\\Leftrightarrow 3>6$

Das ist offensichtlich eine falsche Aussage, also löst $1$ die Ungleichung nicht!

Stattdessen muss die letzte Zeile

heißen. Dies wird schnell deutlich, wenn man die Variable auf die rechte Seite bringt:

Beispiel: Lineare Ungleichung

Finde die Lösungsmenge für folgende Ungleichung:    $8x+7\le10x-13$

Strategie: Bringe alle $x$ auf eine Seite und alle Zahlen ohne $x$ auf die andere Seite der Ungleichung:

$10\leq x$

$\Rightarrow x\in\lbrack10;\infty\lbrack\;\;\;\;\Rightarrow\;\;L=\left\{x\;\left|\;x\geq10\right.\right\}\;\;$

Lösen von Bruchungleichungen

Das Lösen von Bruchungleichungen ist deutlich komplizierter als das Lösen von linearen Ungleichungen.

Ein Beispiel verdeutlicht die Komplexität:

Um den Bruch loszuwerden, müsste man "über Kreuz multiplizieren" (also sowohl mit dem Nenner auf der linken als auch mit dem Nenner auf der rechten Seite multiplizieren). Hier müsste man aber beachten, wann die Nennerterme negativ werden, weil man dann das Ungleichheitszeichen umdrehen muss!

Deshalb bräuchte es bei dieser Methode einige Fallunterscheidungen (also für welche x-Werte wird $(x+2)$ kleiner null und für welche x-Werte wird $(x-3)$ kleiner null)

Um dies zu umgehen, befolgt man diese Strategie:

Man bringt beide Brüche auf eine Seite und bildet den Hauptnenner.

Die Frage ist nun: Für welche $x\in\mathbb{R}$ wird der Bruch links negativ oder gleich null?

Das Vorzeichen des Bruchs ist abhängig von den Vorzeichen der einzelnen Faktoren, also in diesem Fall von den Vorzeichen der Faktoren $(-x-7),\;(x+2)$ und $(x-3)$.

Dazu braucht man die Nullstellen (also die $x$-Werte, für die ein Faktor gleich null wird) dieser Faktoren, also in diesem Fall: $-7,\;-2$ und$\;3$, da sich bei diesen Stellen das Vorzeichen der einzelnen Faktoren ändert.

Nun erstellt man eine Vorzeichentabelle:

Nun kennt man das Vorzeichen des Bruches für die verschiedenen Intervalle:

• $\frac{-x-7}{(x+2)\cdot(x-3)}>0\;$ für $\;x\in\rbrack-\infty;-7\lbrack$

• $\frac{-x-7}{(x+2)\cdot(x-3)}<0\;$ für $\;x\in\rbrack-7;-2\lbrack$

• $\frac{-x-7}{(x+2)\cdot(x-3)}>0\;$ für $\;x\in\rbrack-2;3\lbrack$

• $\frac{-x-7}{(x+2)\cdot(x-3)}<0\;$ für $\;x\in\rbrack3;\infty\lbrack$

Da in der Aufgabe der Gesamtterm kleiner gleich null sein soll, kann man nun direkt die Lösung ablesen:

$x\in\lbrack-7;-2\lbrack\;$ oder $\;x\in\rbrack3;\infty\lbrack$. Die $-7$ ist mit eingeschlossen, weil es eine "kleiner gleich (" $\leq$ ") Ungleichung" ist. Die anderen beiden Grenzen sind ausgeschlossen, weil an diesen Werten der Bruch im Nenner $0$ wird und dies nicht definiert ist.

Damit ergibt sich folgende Lösungsmenge:

$L=\{x\in\mathbb{R}\vert-7\leq x < 2\;$ und $\; x>3\}$

Allgemeine Lösungsstrategie für Bruchungleichungen

1. Alle Terme auf eine Seite bringen, sodass auf der anderen Seite nur noch die $0$ steht.

2. Den Term zu einem Bruch zusammenfassen.

3. Sowohl der Nenner als auch der Zähler müssen faktorisiert sein.

4. Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmen.

5. Eine Vorzeichentabelle erstellen.

6. Muss der gesamte Bruch größer (gleich) oder kleiner (gleich) 0 sein?

7. Gib die Lösungsmenge an. Achtung: Nullstellen des Nenners ausschließen!