Ungleichungen lösen

Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, diejenigen Werte für die Variable zu finden, für die die Ungleichung wahr ist.

Die Werte sind meist nicht direkt ablesbar, weshalb man die Ungleichung zunächst durch Äquivalenzumformungen in eine Form bringt, die das Ablesen der Lösungsmenge ermöglicht.

Lösen von Ungleichungen

Eine Ungleichung ist grundsätzlich wie eine Gleichung zu behandeln. Gesucht sind diejenigen Werte für $x$ , sodass die Gleichung/Ungleichung eine wahre Aussage liefert. Die Ungleichung

\displaystyle 2x-1\le 7

besitzt mehrere Lösungen, was durch Einsetzen von $x_{1} = 4$ oder $x_{2} = 3$ erkannt werden kann. Interessant ist es bei Ungleichungen jedoch alle Lösungen zu bestimmen. Wie bei Gleichungen formt man die Ungleichung systematisch um:

$\displaystyle 2x-1$	$\leq ≤$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle 2x$	$\leq ≤$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$\leq ≤$	$\displaystyle 4$

$\Rightarrow$ Alle Werte für $x$ , die kleiner oder gleich $4$ sind, erfüllen die Ungleichung.

Multiplikation/Division mit negativen Zahlen

Um eine Ungleichung zu lösen, geht man wie bei Gleichungen vor.

Allerdings ist die Multiplikation (oder Division) mit einer negativen Zahl ein besonderer Fall, der im Folgenden erläutert wird:

$\displaystyle 3x$	$>$	$\displaystyle 5x+1$	$\displaystyle -5x$
	↓	Man formt die Ungleichung durch Äquivalenzumformung um, sodass die Variable alleine steht.
$\displaystyle -2x$	$>$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :\left(-2\right)$

Jetzt ist der Fall, dass durch eine negative Zahl geteilt wird. Warum ist dieser Fall so besonders?

Man erwartet, dass die folgende Zeile so lautet:

\displaystyle x>-\frac12

Dann müsste $1$ in der Lösungsmenge liegen, da $1$ größer ist als $-\frac12$ .

Probe:

$\quad3\cdot1>5\cdot1+1\\\Leftrightarrow 3>6$

Das ist offensichtlich eine falsche Aussage, also löst $1$ die Ungleichung nicht!

Stattdessen muss die letzte Zeile

\displaystyle x<-\frac12

heißen. Dies wird schnell deutlich, wenn man die Variable auf die rechte Seite bringt:

$\displaystyle 3x$	$>$	$\displaystyle 5x+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 3x-1$	$>$	$\displaystyle 5x$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle -1$	$>$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle -\frac{1}{2}$	$>$	$\displaystyle x$

Bei dieser Äquivalenzumformung wird die Division durch eine negative Zahl vermieden!

MerkeUmkehrung des Ungleichheitszeichens

Bei Multiplikation (oder Division) mit einer negativen Zahl wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt.

" $<$ " $\rightarrow$ " $>$ "
" $>$ " $\rightarrow$ " $<$ "
" $\leq$ " $\rightarrow$ " $\geq$ "
" $\geq$ " $\rightarrow$ " $\leq$ "

Beispiel: Lineare Ungleichung

Finde die Lösungsmenge für folgende Ungleichung: $8x+7\le10x-13$

Strategie: Bringe alle $x$ auf eine Seite und alle Zahlen ohne $x$ auf die andere Seite der Ungleichung:

\displaystyle 8x+7 \leq 10x-13 \qquad \qquad \qquad \qquad |+13

\displaystyle 8x+7+13\leq10x-13+13

\displaystyle 8x+20\leq10x \qquad \qquad \qquad \qquad \; \; \; \; \; \; |-8x

\displaystyle 8x+20-8x\leq10x-8x

\displaystyle 20\leq2x\qquad \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left|:2\right.

$10\leq x$

$\Rightarrow x\in\lbrack10;\infty\lbrack\;\;\;\;\Rightarrow\;\;L=\left\{x\;\left|\;x\geq10\right.\right\}\;\;$

Lösen von Bruchungleichungen

Das Lösen von Bruchungleichungen ist deutlich komplizierter als das Lösen von linearen Ungleichungen.

Ein Beispiel verdeutlicht die Komplexität:

\displaystyle \frac1{x+2}\leq\frac2{x-3}

Um den Bruch loszuwerden, müsste man "über Kreuz multiplizieren" (also sowohl mit dem Nenner auf der linken als auch mit dem Nenner auf der rechten Seite multiplizieren). Hier müsste man aber beachten, wann die Nennerterme negativ werden, weil man dann das Ungleichheitszeichen umdrehen muss!

Deshalb bräuchte es bei dieser Methode einige Fallunterscheidungen (also für welche x-Werte wird $(x + 2)$ kleiner null und für welche x-Werte wird $(x - 3)$ kleiner null)

Um dies zu umgehen, befolgt man diese Strategie:

Man bringt beide Brüche auf eine Seite und bildet den Hauptnenner.

Brüche auf eine Seite bringen.
	↓
$\displaystyle \frac{1}{x+2}-\frac{2}{x-3}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0$
	↓	Auf gemeinsamen Hauptnenner bringen, aber nicht ausmultiplizieren!
$\displaystyle \frac{1\cdot(x-3)}{(x+2)\cdot(x-3)}-\frac{2\cdot(x+2)}{(x+2)\cdot(x-3)}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0$
	↓	Zähler zusammenfassen.
$\displaystyle \frac{x-3-2x-4}{(x+2)\cdot(x-3)}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{-x-7}{(x+2)\cdot(x-3)}$	$\leq ≤$	$\displaystyle 0$

Die Frage ist nun: Für welche $x\in\mathbb{R}$ wird der Bruch links negativ oder gleich null?

Das Vorzeichen des Bruchs ist abhängig von den Vorzeichen der einzelnen Faktoren, also in diesem Fall von den Vorzeichen der Faktoren $(-x-7),\;(x+2)$ und $(x - 3)$ .

Dazu braucht man die Nullstellen (also die $x$ -Werte, für die ein Faktor gleich null wird) dieser Faktoren, also in diesem Fall: $- 7, - 2$ und $3$ , da sich bei diesen Stellen das Vorzeichen der einzelnen Faktoren ändert.

Nun erstellt man eine Vorzeichentabelle:

In der ersten Spalte stehen die einzelnen Faktoren
Die erste waagrechte Linie versteht man als Zahlenstrahl. Dort werden der Größe nach die Nullstellen angetragen.
Nun schaut man Zeile für Zeile, welches Vorzeichen die einzelnen Faktoren vor bzw. nach den angetragenen Nullstellen haben. Dort, wo ein Faktor $0$ wird, trägt man die Null auf den senkrechten Strich ein.
In der letzten Zeile betrachtet man das Vorzeichen des Gesamtterms. Das Vorzeichen ergibt sich einfach aus den in derselben Spalte darüber liegenden Vorzeichen. Es gelten die bekannten Regeln: $+\cdot+=+\;;\;\;\;+\cdot-=-\;;\;\;\;$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5152_yFZIiav0Am.xml

Nun kennt man das Vorzeichen des Bruches für die verschiedenen Intervalle:

$\frac{-x-7}{(x+2)\cdot(x-3)}>0\;$ für $\;x\in\rbrack-\infty;-7\lbrack$
$\frac{-x-7}{(x+2)\cdot(x-3)}<0\;$ für $\;x\in\rbrack-7;-2\lbrack$
$\frac{-x-7}{(x+2)\cdot(x-3)}>0\;$ für $\;x\in\rbrack-2;3\lbrack$
$\frac{-x-7}{(x+2)\cdot(x-3)}<0\;$ für $\;x\in\rbrack3;\infty\lbrack$

Da in der Aufgabe der Gesamtterm kleiner gleich null sein soll, kann man nun direkt die Lösung ablesen:

$x\in\lbrack-7;-2\lbrack\;$ oder $\;x\in\rbrack3;\infty\lbrack$ . Die $- 7$ ist mit eingeschlossen, weil es eine "kleiner gleich (" $\leq$ ") Ungleichung" ist. Die anderen beiden Grenzen sind ausgeschlossen, weil an diesen Werten der Bruch im Nenner $0$ wird und dies nicht definiert ist.

Damit ergibt sich folgende Lösungsmenge:

$L=\{x\in\mathbb{R}\vert-7\leq x < 2\;$ und $x > 3}$

Allgemeine Lösungsstrategie für Bruchungleichungen

Alle Terme auf eine Seite bringen, sodass auf der anderen Seite nur noch die $0$ steht.
Den Term zu einem Bruch zusammenfassen.
Sowohl der Nenner als auch der Zähler müssen faktorisiert sein.
Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmen.
Eine Vorzeichentabelle erstellen.
Muss der gesamte Bruch größer (gleich) oder kleiner (gleich) 0 sein?
Gib die Lösungsmenge an. Achtung: Nullstellen des Nenners ausschließen!

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