Alle diese Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig.

$A_{\left(1\right)}=\frac{1}{2}A_Q$

$A_{\left(2\right)}=\frac{1}{2}A_{\left(1\right)}$

Begründung:

Die Diagonalen [$AC$] und [$BD$] zerlegen das Quadrat $ABCD$ in vier kongruente Teildreiecke, wovon eines das Teildreieck $(2)$ ist. Das Dreieck $ABD$ ist aus zwei dieser Teildreiecke zusammengesetzt. Also ist das Dreieck $(2)$ halb so groß wie das Teildreieck $(1)$.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=0{,}75=75\%$

Es wurde schon gezeigt, dass $A_{\left(2\right)}=\frac12A_{\left(1\right)}$ gilt.

Die Dreiecke $MPC$ (= Dreieck $(D1)$), $MCQ$ und Dreieck $(3)$ sind kongruent.

Also gilt $A_{\left(3\right)}=\frac12A_{\left(2\right)}$ .

Am oben liegenden Quadrat mit der Seitenlänge [$DQ$] erkennst du: $A_{\left(4\right)}=\frac12A_{\left(3\right)}$ und die Dreiecke $(4)$ und $(D2)$ sind kongruent.

Insgesamt gilt: Jedes getönte Dreieck ist halb so groß wie sein Vorgänger. Jedes getönte Dreieck hat einen kongruenten Partner unter den Dreiecken $(D1), (D2), (D3), (D4),…$ . Jedes der Dreiecke $(D1), (D2), (D3), (D4),…$ . hat einen kongruenten Partner in den getönten.

$A_{\left(4\right)}=A_{\left(3\right)}:2=A_{\left(2\right)}:4=A_{\left(1\right)}:8=\frac{1}{2}A_Q:8=\frac{1}{16}A_Q$

Aus der Zeichnung erkennst du: Alle Dreiecke von $(1), (2)$ angefangen bis ins unendlich kleinste ergeben das vollständige Quadrat $ABCD$.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots=1$

Da $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots=1$   muss man nur noch das hinzugefügte $\frac12$ wieder abziehen.

$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\dots$

$=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$