$P(\text{genau ein Gewinn})=\frac{\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ 2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}10+x\\ 3\end{array}\right)}\approx 0.40P(\backslash text\{genau\; ein\; Gewinn\})=\backslash frac\{\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 10\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash begin\{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}\}\{\backslash begin\{pmatrix\}\; 10+x\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash end\{pmatrix\}\}\; \backslash approx\; 0.40$

Nun kann diese Gleichung umgeformt werden. Zunächst werden die einzelnen Teile mit Hilfe der Definition des Binomialkoeffizienten vereinfacht:

• $\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right)=10\backslash begin\{pmatrix\}\; 10\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}\; =10$

• $\left(\begin{array}{c}x\\ 2\end{array}\right)=\frac{x\cdot (x-1)}{2\cdot 1}\backslash begin\{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}\; =\backslash frac\{x\; \backslash cdot\; (x-1)\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}$

• $\left(\begin{array}{c}10+x\\ 3\end{array}\right)=\frac{(10+x)\cdot (10+x-1)\cdot (10+x-3)}{3\cdot 2\cdot 1}\backslash begin\{pmatrix\}\; 10+x\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash end\{pmatrix\}\; =\backslash frac\{(10+x)\; \backslash cdot\; (10+x-1)\; \backslash cdot\; (10+x-3)\}\{3\backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 1\}$

$P(\text{Vierer})=\frac{10\frac{x\cdot (x-1)}{2}}{\frac{(10+x)\cdot (10+x-1)\cdot (10+x-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}\approx 0.40P(\backslash text\{Vierer\})=\backslash frac\{\; 10\backslash frac\; \{x\; \backslash cdot\; (x-1)\}\; \{2\}\; \}\{\backslash frac\; \{(10+x)\; \backslash cdot\; (10+x-1)\; \backslash cdot\; (10+x-2)\}\{3\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 1\; \}\}\; \backslash approx\; 0.40$

Das Lösen dieser Gleichung ist nicht ganz einfach und kann man getrost einem (graphischen) Taschenrechner überlassen.

• Mit einem CAS lösen.

• graphische Lösung: Eingabe der linken Seite der Gleichung als Funktion und dann alle x-Werte ermitteln, für die der Funktionswert 0.4 gilt.

• Lösung der Gleichung mit der Cardanischen Formel

Als Lösung erhält man in Näherung:

$x_1\approx -1.7760x_2\approx 10,2589x_3\approx 39.5171x\_1\; \backslash approx\; -1.7760\; \backslash newline\; x\_2\; \backslash approx\; 10\{,\}2589\; \backslash newline\; x\_3\; \backslash approx\; 39.5171$

Der negative Wert entfällt im Sachzusammenhang. Die anderen beiden Werte können für eine Lösung der Aufgabe verwendet werden.

Entweder der Verein legt 10 oder er legt 40 "Nieten" in den Lostopf.

Legt der Verein 10 "Nieten" in den Lostopf, werden sich die restlichen 60% auf "mehr als einen Gewinn" verteilen.

Legt der Verein 40 "Nieten" in den Lostopf, werden sich die restlichen 60% auf "weniger als einen Gewinn" verteilen.