Aufgaben zur hypergeometrischen Verteilung

Hier findest du Aufgaben zur hypergeometrischen Verteilung. Stelle dein Wissen unter Beweis!

1
Für die Mitarbeit in einer Arbeitsgruppe haben sich 14 Personen beworben, davon haben 5 bereits in einer ähnlichen Arbeitsgruppe mitgearbeitet, die übrigen 9 noch nicht. Es werden 5 Personen für die Arbeitsgruppe ausgewählt.
1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 erfahrene Mitglieder in der Arbeitsgruppe arbeiten?
  
  N=14 (14 Personen stehen zu Wahl)
  n=5 (fünf werden für die Arbeitsgruppe benötigt)
  M=5 (fünf Erfahrene unter den 14)
  k=3 (drei Erfahrene in der Arbeitsgruppe)
  $P\left(k=3\right)=\frac{ \begin{pmatrix} M \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} N-M \\ n-k \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}}=\frac{ \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 14-5 \\ 5-3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 14 \\ 5 \end{pmatrix}} \approx 0.1798$
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  Zunächst sollte man sich eine entsprechende Urne vorstellen:
  Kugeln: N=14 (davon 5 weiß, 9 schwarz)
  Ziehungen: n=5
  ohne Zurücklegen (jeder kann nur einmal in der Arbeitsgruppe arbeiten)
  ohne Beachtung der Reihenfolge (es ist egal, ob ich als erster oder zweiter gelost werde)
  Hieraus kann ich erkenne, dass die hypergeometrische Verteilung angewendet werden kann.
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 erfahrene Mitglieder in der Arbeitsgruppe arbeiten?
  
  "Mindestens" drei erfahrene Mitglieder bedeutet 3, 4 oder 5 erfahrene Mitglieder in der Arbeitsgruppe.
  N=14 (14 Personen stehen zu Wahl)
  n=5 (fünf werden für die Arbeitsgruppe benötigt)
  M=5 (fünf Erfahrene unter den 14)
  k=3, k=4, k=5 (drei, vier, fünf Erfahrene in der Arbeitsgruppe)
  $P\left(3\le k\le 5\right)=P\left(k=3\right)+P\left(k=4\right)+P\left(k=5\right)=\frac{ \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 14-5 \\ 5-3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 14 \\ 5 \end{pmatrix}}+\frac{ \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 14-5 \\ 5-4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 14 \\ 5 \end{pmatrix}}+\frac{ \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 14-5 \\ 5-5 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 14 \\ 5 \end{pmatrix}} \approx 0.1798+0.0225+0.0005=0.2028$
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  Für diese Lösung solltest du Aufgabe a) gelöst und verstanden haben.
2
In einer Schale mit Gummibärchen befinden sich 8 rote, 7 grüne und 5 gelbe Gummibären. Es werden mit einem Griff 5 Gummibärchen herausgenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 rote, 2 grüne und 1 gelbes Gummibärchen herausgenommen werden?
N=20
n=5
$M_{1} = 8$ und $k_{1} = 2$ (zwei der 8 roten Gummibärchen sollen herausgenommen werden)
$M_{2} = 7$ und $k_{2} = 2$ (zwei der 7 grünen Gummibärchen sollen herausgenommen werden)
$M_{3} = 5$ und $k_{3} = 1$ (eines der 5 gelben Gummibärchen sollen herausgenommen werden)
$P \left( 2 \text{ rote}, 2 \text{ grüne}, 1 \text{ gelbes} \right) =\frac{ \begin{pmatrix} M_1 \\ k_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M_2 \\ k_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} M_3 \\ k_3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}}=\frac{ \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 20 \\ 5 \end{pmatrix}} \approx 0.1896$
Denke dir ein Urnenmodell:
N=20 (20 Gummibärchen in der Schale)
n=5 (fünf werden herausgenommen)
ohne zurücklegen
ohne Reihenfolge (da mit einem Griff gezogen wird)
Also bietet sich die hypergeometrische Verteilung an.
3
Der Sportverein "Sport für ALLE" plant eine kleine Tombola. Es sollen 10 Gewinne verlost werden. Der erste ehrenamtlichen Trainer darf 3 mal aus dem Lostopf ziehen. Der Vorstand einigt sich darauf, dass die Wahrscheinlichkeit genau einen Gewinn zu ziehen bei ca. 40% liegen soll.
Wie viele "Nieten" müssen in den Lostopf gelegt werden?
$P(\text{genau ein Gewinn})=\frac{ \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 10+x \\ 3 \end{pmatrix}} \approx 0.40$
Nun kann diese Gleichung umgeformt werden. Zunächst werden die einzelnen Teile mit Hilfe der Definition des Binomialkoeffizienten vereinfacht:
$\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} =10$
$\begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix} =\frac{x \cdot (x-1)}{2 \cdot 1}$
$\begin{pmatrix} 10+x \\ 3 \end{pmatrix} =\frac{(10+x) \cdot (10+x-1) \cdot (10+x-3)}{3\cdot 2 \cdot 1}$
$P(\text{Vierer})=\frac{ 10\frac {x \cdot (x-1)} {2} }{\frac {(10+x) \cdot (10+x-1) \cdot (10+x-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1 }} \approx 0.40$
Das Lösen dieser Gleichung ist nicht ganz einfach und kann man getrost einem (graphischen) Taschenrechner überlassen.
Mit einem CAS lösen.
graphische Lösung: Eingabe der linken Seite der Gleichung als Funktion und dann alle x-Werte ermitteln, für die der Funktionswert 0.4 gilt.
Lösung der Gleichung mit der Cardanischen Formel
Als Lösung erhält man in Näherung:
$x_1 \approx -1.7760 \newline x_2 \approx 10{,}2589 \newline x_3 \approx 39.5171$
Der negative Wert entfällt im Sachzusammenhang. Die anderen beiden Werte können für eine Lösung der Aufgabe verwendet werden.
Entweder der Verein legt 10 oder er legt 40 "Nieten" in den Lostopf.
Legt der Verein 10 "Nieten" in den Lostopf, werden sich die restlichen 60% auf "mehr als einen Gewinn" verteilen.
Legt der Verein 40 "Nieten" in den Lostopf, werden sich die restlichen 60% auf "weniger als einen Gewinn" verteilen.
Notiere zunächt die Rechnung mit einer Variablen als Platzhalter für die unbekannte Anzahl an "Nieten".
4
Für eine Tombola werden 200 Lose vorbereitet. 50 Lose sind Gewinnlose, die restlichen sind Nieten. Der erste, der aus dem Lostopf zieht, kauft genau 5 Lose.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Kauf von 5 Losen mindestens einen Gewinn zu haben?
  
  Das Gegenereignis von "mindestens ein Gewinn" ist "kein Gewinn".
  Die Wahrscheinlichkeit kannst du dir leicht überlegen:
  Beim ersten Los sind 150 Nieten unter 200 Losen vorhanden. Die Wahrscheinlichkeit eine Niete zu ziehen ist $\frac{150}{200}$ .
  Beim zweiten Los sind noch 149 Nieten unter 199 Losen vorhanden. Die Wahrscheinlichkeit eine Niete zu ziehen ist $\frac{149}{199}$ .
  ...
  Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
  $\displaystyle P\left(\text{"mindestens ein Gewinn"}\right)=1-\frac{150}{200}\cdot\frac{149}{199}\cdot\frac{148}{198}\cdot\frac{147}{197}\cdot\frac{146}{196}\approx0{,}7667$ .
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  Für die Lösung dieser Aufgabe benötigst du keine hypergeometrische Verteilung. Du kannst mit dem Gegenereignis arbeiten.
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Gewinne?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: hypergeometrische Verteilung
  $P(\text{genau\ zwei\ Gewinne})=\frac{ \begin{pmatrix} 50 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 150 \\ 3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 200 \\ 5 \end{pmatrix}} \approx 0{,}2663$ .
  (Aus 50 Gewinnen werden 2 ausgewählt, aus 150 Nieten werden 3 ausgewählt. Insgesamt werden aus 200 Losen 5 ausgewählt.)
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  Für die Lösung kannst du mit der hypergeometrischen Verteilung arbeiten.
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens drei Gewinne zu ziehen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: hypergeometrische Verteilung
  $P(\text{"mindestens\ drei\ Gewinne"})=\frac{ \begin{pmatrix} 50 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 150 \\ 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 200 \\ 5 \end{pmatrix}}+\frac{ \begin{pmatrix} 50 \\ 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 150 \\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 200 \\ 5 \end{pmatrix}}+\frac{ \begin{pmatrix} 50 \\ 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 150 \\ 0 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 200 \\ 5 \end{pmatrix}}\approx 0{,}0864 + 0{,}0136 + 0{,}0008 = 0{,}1008$
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  Addiere die Wahrscheinlichkeiten von "genau drei Gewinne", "genau vier Gewinne" und "genau fünf Gewinne".

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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