1. Definitionsmenge

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\sqrt{x^2-4}\backslash sqrt\{x^2-4\}$: Prüfe, wann der Radikand $x^2-4x^2-4$ größer oder gleich null ist.

Der Radikand ist also größer oder gleich null, wenn $x\le -2x\backslash leq\; -2$ oder $x\ge 2x\backslash geq\; 2$ ist.

Das Intervall $]-2;2[]-2;2[$ muss also aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Die Definitionsmenge für die Funktion $f(x)f(x)$ lautet dann:

Gleichwertig ist folgende Darstellung des Definitionsbereiches:

2. Wertemenge

Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Betrachte das linke Intervall des Definitionsbereiches $]-\mathrm{\infty };-2]]-\backslash infty;-2]$.

Setzt du die rechte Grenze des Intervalls $x=-2x=-2$ in die Funktionsgleichung ein, so erhältst du den kleinstmöglichen Funktionswert $f(-2)=0f(-2)=0$.

Für alle anderen Funktionswerte aus diesem Intervall gilt: $f(x)>0f(x)>0$ und ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; -\backslash infty\}f(x)=\backslash infty$.

Betrachte das rechte Intervall des Definitionsbereiches $]2,\mathrm{\infty }]]2,\backslash infty]$.

Setzt du die linke Grenze des Intervalls $x=2x=2$ in die Funktionsgleichung ein, so erhältst du den kleinstmöglichen Funktionswert $f(2)=0f(2)=0$.

Für alle anderen Funktionswerte aus diesem Intervall gilt: $f(x)>0f(x)>0$ und ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; +\backslash infty\}f(x)=\backslash infty$

Die Wertemenge ist demnach:

Graphische Veranschaulichung der Definitions- und Wertemenge