Aufgaben zum Definitions- und Wertebereich von Funktionen
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Bestimme die Definitions - und Wertemenge der folgenden Funktionen.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
1. Definitionsmenge
Der Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) gibt an, welche -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen.
Bei ganzrationalen Funktionen ist die Definitionsmenge immer , also gilt:
2. Wertemenge
Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
FĂŒr die Ermittlung des Wertebereichs bringe die quadratische Funktion auf die Scheitelpunktsform.
â Klammere (-2) aus.
â Mache die quadratische ErgĂ€nzung.
â Fasse zusammen.
â Multipliziere die Klammer aus.
Lies den Scheitel und die Ăffnungsrichtung ab.
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten .
Die Parabel ist nach unten geöffnet, d.h. der gröĂte -Wert ist .
Gib die Wertemenge an.
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1. Definitionsmenge
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf. Bei gebrochen-rationalen Funktionen ist der Funktionsterm ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich null ist. (Durch null darf nicht geteilt werden.)
Setze den Nenner gleich null:
â Löse nach auf.
â Ziehe die Wurzel.
FĂŒr bzw. wĂŒrde der Nenner null sein.
Die Zahlen und mĂŒssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei und jeweils eine DefinitonslĂŒcke vorliegt.
Der Definitionsbereich lautet:
2. Wertemenge
Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Die Funktion hat zwei Polstellen jeweils mit Vorzeichenwechsel bei und (wegen des ungeraden Exponenten ).
Betrachtest du das Intervall zwischen den beiden Polstellen, so gilt:
und .
AuĂerdem hat die Funktion an der Stelle eine Nullstelle.
Somit durchlaufen die Funktionswerte in diesem Intervall alle Werte von bis , d.h. die Wertemenge ist:
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Bestimme die Definitions- und Wertemenge der folgenden Funktion .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
1. Definitionsmenge
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
: PrĂŒfe, wann der Radikand gröĂer oder gleich null ist.
Der Radikand ist also gröĂer oder gleich null, wenn oder ist.
Das Intervall muss also aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Die Definitionsmenge fĂŒr die Funktion lautet dann:
Gleichwertig ist folgende Darstellung des Definitionsbereiches:
2. Wertemenge
Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Betrachte das linke Intervall des Definitionsbereiches .
Setzt du die rechte Grenze des Intervalls in die Funktionsgleichung ein, so erhÀltst du den kleinstmöglichen Funktionswert .
FĂŒr alle anderen Funktionswerte aus diesem Intervall gilt: und .
Betrachte das rechte Intervall des Definitionsbereiches .
Setzt du die linke Grenze des Intervalls in die Funktionsgleichung ein, so erhÀltst du den kleinstmöglichen Funktionswert .
FĂŒr alle anderen Funktionswerte aus diesem Intervall gilt: und
Die Wertemenge ist demnach:
Graphische Veranschaulichung der Definitions- und Wertemenge
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Bestimme die Definitions- und Wertemenge der folgenden Funktion .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
1. Definitionsmenge
Die Definitionsmenge (Definitionsbereich) einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss gröĂer oder gleich null sein.
: PrĂŒfe, wann der Radikand gröĂer oder gleich null ist.
â Löse nach auf.
: PrĂŒfe nun, wann der Radikand gröĂer oder gleich null ist.
Hier gilt:
Der gemeinsame Definitionsbereich fĂŒr beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen ( und ) ĂŒberschneiden, ist der Definitionsbereich () fĂŒr die Wurzelfunktion.
FĂŒr ĂŒberschneiden sich die beiden Definitionsbereiche fĂŒr die Wurzeln.
Der Definitionsbereich fĂŒr die Wurzelfunktion ist dann:
2. Wertemenge
Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Setzt du in den Radikanden die linke Grenze des Definitionsbereichs ein, so nimmt der Radikand seinen maximalen Wert an.
Setzt du in den Radikanden die rechte Grenze des Definitionsbereichs ein, so nimmt der Radikand seinen minimalen Wert an.
FĂŒr alle anderen -Werte aus gilt: .
Dann folgt fĂŒr den Wertebereich:
Graphische Veranschaulichung der Definitions- und Wertemenge
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Bestimme die Definitions- und Wertemenge der folgenden Funktion:
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
1. Definitionsmenge
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen.
Bei Logarithmusfunktionen muss das Argument gröĂer als null sein.
PrĂŒfe, wann das Argument gröĂer null ist.
â Löse nach auf.
Das Argument ist also gröĂer als null, wenn oder ist.
Das Intervall muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Die Definitionsmenge fĂŒr die Funktion lautet dann:
2. Wertemenge
Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt. Der Term kann jeden positiven Wert annehmen, also alle Werte im Definitionsbereich des Logarithmus.
Die Wertemenge einer Logarithmusfunktion ist ganz .
Also ist:
Graphische Veranschaulichung der Definitions- und Wertemenge
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