Aufgaben zum Definitions- und Wertebereich von Funktionen

Bestimme die Definitions - und Wertemenge der folgenden Funktionen.

$f (x) = - 2 x^{2} + 4 x - 4$

$g(x)= \dfrac{4x-1}{x^2-9}$

1. Definitionsmenge

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf. Bei gebrochen-rationalen Funktionen ist der Funktionsterm ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich null ist. (Durch null darf nicht geteilt werden.)

Setze den Nenner $x^{2} - 9$ gleich null:

$\displaystyle x^2-9$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +9$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \pm 3$

Für $x = - 3$ bzw. $x = 3$ würde der Nenner null sein.

Die Zahlen $- 3$ und $3$ müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei $x = - 3$ und $x = 3$ jeweils eine Definitonslücke vorliegt.

Der Definitionsbereich lautet:

\displaystyle \mathbb{D_g}=\mathbb{R}\backslash\{-3;3\}

2. Wertemenge

Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Die Funktion $g(x)=\dfrac{4x-1}{x^2-9}=\dfrac{4x-1}{(x-3)\cdot(x+3)}$ hat zwei Polstellen jeweils mit Vorzeichenwechsel bei $- 3$ und $3$ (wegen des ungeraden Exponenten $1$ ).

Betrachtest du das Intervall $] - 3; 3 [$ zwischen den beiden Polstellen, so gilt:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-3^+}\dfrac{4x-1}{x^2-9}=\infty$ und $\displaystyle\lim_{x\rightarrow3^-}\dfrac{4x-1}{x^2-9}=-\infty$ .

Außerdem hat die Funktion an der Stelle $x=\dfrac{1}{4}$ eine Nullstelle.

Somit durchlaufen die Funktionswerte in diesem Intervall alle Werte von $\infty$ bis $-\infty$ , d.h. die Wertemenge ist:

\displaystyle \mathbb{W_g}=\mathbb{R}

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Bestimme die Definitions- und Wertemenge der folgenden Funktion $f(x)=\sqrt{x^2-4}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge

1. Definitionsmenge

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\sqrt{x^2-4}$ : Prüfe, wann der Radikand $x^{2} - 4$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle x^2-4$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle x^2$	$\geq ≥$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \|x\|$	$\geq ≥$	$\displaystyle 2$

Der Radikand ist also größer oder gleich null, wenn $x\leq -2$ oder $x\geq 2$ ist.

Das Intervall $] - 2; 2 [$ muss also aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Die Definitionsmenge für die Funktion $f (x)$ lautet dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb{D_f}=\mathbb{R}\backslash]-2;2[ }

Gleichwertig ist folgende Darstellung des Definitionsbereiches:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb{D_f}=]-\infty;-2]\cup[2;\infty[}

2. Wertemenge

Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Betrachte das linke Intervall des Definitionsbereiches $]-\infty;-2]$ .

Setzt du die rechte Grenze des Intervalls $x = - 2$ in die Funktionsgleichung ein, so erhältst du den kleinstmöglichen Funktionswert $f (- 2) = 0$ .

Für alle anderen Funktionswerte aus diesem Intervall gilt: $f (x) > 0$ und $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty$ .

Betrachte das rechte Intervall des Definitionsbereiches $]2,\infty]$ .

Setzt du die linke Grenze des Intervalls $x = 2$ in die Funktionsgleichung ein, so erhältst du den kleinstmöglichen Funktionswert $f (2) = 0$ .

Für alle anderen Funktionswerte aus diesem Intervall gilt: $f (x) > 0$ und $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\infty$

Die Wertemenge ist demnach:

\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb{W_f}=\mathbf{[0;\infty[}}

Graphische Veranschaulichung der Definitions- und Wertemenge

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Bestimme die Definitions- und Wertemenge der folgenden Funktion $g(x)=\sqrt{8-\sqrt{x+2}}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge

1. Definitionsmenge

Die Definitionsmenge (Definitionsbereich) einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\textcolor{660099}{\sqrt{8-\sqrt{x+2}}}$ : Prüfe, wann der Radikand $8-\sqrt{x+2}$ größer oder gleich null ist.

$\displaystyle 8-\sqrt{x+2}$	$\geq ≥$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\sqrt{x+2}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 8$	$\geq ≥$	$\displaystyle \sqrt{x+2}$	$\displaystyle ()^2$
$\displaystyle 64$	$\geq ≥$	$\displaystyle x+2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 62$	$\geq ≥$	$\displaystyle x$

$\textcolor{006400}{\sqrt{x+2}}$ : Prüfe nun, wann der Radikand $x + 2$ größer oder gleich null ist.

Hier gilt: $x\geq-2$

Der gemeinsame Definitionsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen ( $\textcolor{660099}{\text{lila}}$ und $\textcolor{006400}{\text{grün}}$ ) überschneiden, ist der Definitionsbereich ( $\textcolor{ff6600}{\text{orange}}$ ) für die Wurzelfunktion.

Für $0\le x\le62$ überschneiden sich die beiden Definitionsbereiche für die Wurzeln.

Der Definitionsbereich für die Wurzelfunktion $\textcolor{ff6600}{g(x)=}\textcolor{ff6600}{\underbrace{\sqrt{8-\sqrt{x+2}}}_{-2\le x\le62}}$ ist dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb{D_g}=[-2;62]}

2. Wertemenge

Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Setzt du in den Radikanden $8-\sqrt{x+2}$ die linke Grenze des Definitionsbereichs $x = - 2$ ein, so nimmt der Radikand seinen maximalen Wert $8$ an.

$\;\Rightarrow\;g(x)_{max}=\sqrt{8}$

Setzt du in den Radikanden $8-\sqrt{x+2}$ die rechte Grenze des Definitionsbereichs $x = 62$ ein, so nimmt der Radikand seinen minimalen Wert $0$ an.

$\;\Rightarrow\;g(x)_{min}=0$

Für alle anderen $x$ -Werte aus $] - 2; 62 [$ gilt: $0<g(x) <\sqrt{8}$ .

Dann folgt für den Wertebereich:

\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb{W_g}=\left[0;\sqrt{8}\right]}

Graphische Veranschaulichung der Definitions- und Wertemenge

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Bestimme die Definitions- und Wertemenge der folgenden Funktion:
$h(x)=\ln(x^2-16)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich
1. Definitionsmenge
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.
Bei Logarithmusfunktionen muss das Argument größer als null sein.
Prüfe, wann das Argument $x^{2} - 16$ größer null ist.
$\displaystyle x^2-16$ $>$ $\displaystyle 0$
↓
Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x^2$ $>$ $\displaystyle 16$ $\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle |x|$ $>$ $\displaystyle 4$
Das Argument ist also größer als null, wenn $x < - 4$ oder $x > 4$ ist.
Das Intervall $[- 4; 4]$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Die Definitionsmenge für die Funktion $h (x)$ lautet dann:
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb{D_h}=\mathbb{R}\backslash[-4;4]}$
2. Wertemenge
Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt. Der Term $x^{2} - 16$ kann jeden positiven Wert annehmen, also alle Werte im Definitionsbereich des Logarithmus.
Die Wertemenge einer Logarithmusfunktion ist ganz $\mathbb{R}$ .
Also ist:
$\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb{W_h}=\mathbb{R}}$
Graphische Veranschaulichung der Definitions- und Wertemenge

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle -2x^2+4x-4$
	↓	Klammere (-2) aus.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot(x^2-2x+2)$
	↓	Mache die quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot(x^2-2x+1^2-1^2+2)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot\left((x-1)^2+1\right)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle -2\cdot(x-1)^2-2$

$\displaystyle x^2-16$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x^2$	$>$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \|x\|$	$>$	$\displaystyle 4$