1. Definitionsmenge

Die Definitionsmenge (Definitionsbereich) einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\sqrt{8-\sqrt{x+2}}\backslash textcolor\{660099\}\{\backslash sqrt\{8-\backslash sqrt\{x+2\}\}\}$: Prüfe, wann der Radikand $8-\sqrt{x+2}8-\backslash sqrt\{x+2\}$ größer oder gleich null ist.

$\sqrt{x+2}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash sqrt\{x+2\}\}$: Prüfe nun, wann der Radikand $x+2\{x+2\}$ größer oder gleich null ist.

Hier gilt: $x\ge -2x\backslash geq-2$

Der gemeinsame Definitionsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen ($\text{lila}\backslash textcolor\{660099\}\{\backslash text\{lila\}\}$ und $\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash text\{grün\}\}$) überschneiden, ist der Definitionsbereich ($\text{orange}\backslash textcolor\{ff6600\}\{\backslash text\{orange\}\}$) für die Wurzelfunktion.

Für $0\le x\le 620\backslash le\; x\backslash le62$ überschneiden sich die beiden Definitionsbereiche für die Wurzeln.

Der Definitionsbereich für die Wurzelfunktion $g(x)=\underset{-2\le x\le 62}{\underbrace{\sqrt{8-\sqrt{x+2}}}}\backslash textcolor\{ff6600\}\{g(x)=\}\backslash textcolor\{ff6600\}\{\backslash underbrace\{\backslash sqrt\{8-\backslash sqrt\{x+2\}\}\}\_\{-2\backslash le\; x\backslash le62\}\}$ ist dann:

2. Wertemenge

Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Setzt du in den Radikanden $8-\sqrt{x+2}8-\backslash sqrt\{x+2\}$ die linke Grenze des Definitionsbereichs $x=-2x=-2$ ein, so nimmt der Radikand seinen maximalen Wert $88$ an.

$\Rightarrow g(x{)}_{max}=\sqrt{8}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;g(x)\_\{max\}=\backslash sqrt\{8\}$

Setzt du in den Radikanden $8-\sqrt{x+2}8-\backslash sqrt\{x+2\}$ die rechte Grenze des Definitionsbereichs $x=62x=62$ ein, so nimmt der Radikand seinen minimalen Wert $00$ an.

$\Rightarrow g(x{)}_{min}=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;g(x)\_\{min\}=0$

Für alle anderen $xx$-Werte aus $]-2;62[]-2;62[$ gilt: .

Dann folgt für den Wertebereich:

Graphische Veranschaulichung der Definitions- und Wertemenge