Aufgaben zum Definitions- und Wertebereich von Funktionen

…

Bestimme die Definitions- und Wertemenge der folgenden Funktion:

$h(x)=\ln(x^2-16)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich

1. Definitionsmenge

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.

Bei Logarithmusfunktionen muss das Argument größer als null sein.

Prüfe, wann das Argument $x^{2} - 16$ größer null ist.

$\displaystyle x^2-16$	$>$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x^2$	$>$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt{}$
$\displaystyle \|x\|$	$>$	$\displaystyle 4$

Das Argument ist also größer als null, wenn $x < - 4$ oder $x > 4$ ist.

Das Intervall $[- 4; 4]$ muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Die Definitionsmenge für die Funktion $h (x)$ lautet dann:

\displaystyle \textcolor{ff6600}{\mathbb{D_h}=\mathbb{R}\backslash[-4;4]}

2. Wertemenge

Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt. Der Term $x^{2} - 16$ kann jeden positiven Wert annehmen, also alle Werte im Definitionsbereich des Logarithmus.

Die Wertemenge einer Logarithmusfunktion ist ganz $\mathbb{R}$ .

Also ist:

\displaystyle \textcolor{009999}{\mathbb{W_h}=\mathbb{R}}

Graphische Veranschaulichung der Definitions- und Wertemenge

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