Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, um einen quadratischen Term umzuformen.
Man geht aus von der Form ax2+bx+cax^2+bx+c und landet am Ende der Umformung bei der Scheitelform a(x−d)2+e a( x- d)^2+ e .
ax2+bx+c    ⇒  a(x−d)2+e\displaystyle ax^2+bx+c\;\;\Rightarrow\;a\left(x-d\right)^2+e
Die quadratische Ergänzung wird verwendet, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden oder ihre Nullstellen zu bestimmen. Sie kann auch benutzt werden, um quadratische Gleichungen zu lösen.

Vorgehensweise am Beispiel

Quadratische Ergänzung des Terms 12x+17+2x2{12x+17+2x^2}


12x+17+2x2\displaystyle 12x+17+2x^2
1) Sortieren
Sortiere den Term absteigend nach den Potenzen von xx.
x2→x→x^2 \rightarrow x \rightarrow Konstanten
Hier: 2x22x^2 nach vorne bringen
=2x2+12x+17\displaystyle = 2x^2+12 x+17
2) Ausklammern
Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei Termen, die ein xx enthalten, ausklammern. →\rightarrow Faktorisieren
=2(x2+6x)+17\displaystyle =2(x^2+6x)+17
3) Ergänzen
Den Term in der Klammer kannst du nun so umformen, dass er wie ein Teil einer binomischen Formel aussieht.
Teile dafür den Vorfaktor von xx durch 22, und schreibe dein Ergebnis als zweimal diese Zahl.
Hier: 6x=2⋅3x6x = 2\cdot 3x
Nun musst nur noch eine Konstante ergänzen, um eine binomische Formel zu erhalten.
Um den Wert des Terms nicht zu verändern, musst du diese Konstante aber auch wieder abziehen. Er dient dir nur zum umformen.
Hier: 6x=2⋅3x⇒6x = 2\cdot 3x \Rightarrow ergänzen mit 32=93^2=9 und ziehe 323^2 wieder ab.
=2(x2+2⋅3x+32−32)+17\displaystyle =2(x^2+2\cdot3x\boldsymbol+\mathbf3^2\boldsymbol-\mathbf3^2)+17
4) Zusammenfassen
Mit Hilfe der Binomischen Formeln kannst du nun Teile des Terms zusammenfassen.
Hier: Der Term x2+2⋅3x+32x^2+2\cdot3x+3^2 ist eine aufgelöste erste binomische Formel.
=2((x+3)2−32)+17\displaystyle =2((\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf3\boldsymbol)^\mathbf2-3^2)+17
5) Klammer ausmultiplizieren
Multipliziere nun die Klammer aus, welche keine binomische Formel enthält.
Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden (x+3)2(x+3)^2 und (−9)(-9)
=2(x+3)2−18+17\displaystyle =2(x+3)^2\boldsymbol-\mathbf{18}+17
6) Rechte Summe ausrechnen
Brechne den Wert der Konstanten.
Hier: −18+17=−1-18+17=-1
=2(x+3)2−1\displaystyle =2(x+3)^2\boldsymbol-\mathbf1
Am Ende erhält man die Scheitelform

Veranschaulichung der Vorgehensweise durch Applet

Beachte: GeoGebra rundet alle Werte auf 2 Nachkommastellen. Es können daher in der Anzeige Ungenauigkeiten entstehen, das Applet selbst rechnet aber mit den genauen Werten weiter.
Damit die Funktionsterme korrekt angezeigt werden, bitte nur Zahlen mit höchstens 3 Ziffern angeben, sonst gibt es Überlappungen.
GeoGebra
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Sonderfall bx = 0

Wenn der lineare Term bxbx fehlt, lautet die Ausgangsgleichung ax2+c=0ax^2+c=0.
Hier gibt es keinen x-Term. Es fehlt also der Ausdruck, dessen Vorfaktor man bei der quadratischen Ergänzung halbieren und quadrieren muss.
Deshalb die Überlegung: Wann fällt bei einer binomischen Formel (w+z)2=w2+2wz+z2\left(w+z\right)^2=w^2+2wz+z^2 der gemischte Term weg?
2wz=0⇔w=0  oder  z=0\begin{array}{l}2wz=0\Leftrightarrow w=0\;\text{oder}\;z=0\end{array},denn ein Produkt (hier: wzwz) ist genau dann 00, wenn eines der Faktoren (hier: ww bzw. zz) null ist.
Da w2=x2w^2=x^2 und damit w=xw=x nicht 00 ist, muss also z=0z=0 sein.
Man müsste also mit z2=02=0z^2=0^2=0 ergänzen - ein überflüssiger Vorgang.
Betrachtet man jetzt noch einmal die Ausgangsgleichung, dann erkennt man, das bereits die Scheitelform gegeben ist, denn ax2+c=a(x+0)2+cax^2+c=a\left(x+0\right)^2+c .

Wozu dient die quadratische Ergänzung?

Scheitelpunkt bestimmen

Mit Hilfe der Scheitelform kann man direkt den Scheitelpunkt berechnen.
Ist die Scheitelform  a(x−d)2+ea\left(x-d\right)^2+e , so liegt der Scheitelpunkt bei  (d∣e)\left(d\vert e\right) .
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Lösungen einer quadratischen Gleichung

Eine normale quadratische Gleichung der Form ax2+bx+c=0\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+c=0 kann man nicht ohne Weiteres lösen, da die gesuchte Variable x sowohl im Quadrat, als auch linear vorkommt. In der Scheitelform ist dieses Problem behoben. Die Variable steht nur noch einmal in der binomischen Formel.
Das ermöglicht ein Lösungsverfahren mit Wurzelziehen.
Beispiel: 3(x−1)2−12=03(x-1)^2-12=0
3(x−1)2−12  =  0                3(x−1)2  =12                    (x−1)2  =  4                              x−1=±2                                          x=±2+1\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{l}3(x-1)^2-12\;=\;0\;\\\;\;\;\;\;\;\;3(x-1)2\;=12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x-1{)^2\;}=\;4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x-1=\pm2\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\pm2+1\\\end{array}
L={−1;3}\displaystyle L=\left\{-1;3\right\}
∣+12|+12
∣:3|:3^{ }
∣  |\ \sqrt{\ }
∣+1|+1^{ }
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Marc_Ho 2020-06-05 16:28:13+0200
In Schritt 4 des Applet fehlen Klammern, was wichtig ist, wenn b negativ ist.
Einige Formatierungsfehler treten auf.
Das Applet ist ansonsten wirklich nett gemacht.
MarK97 2020-06-06 16:07:48+0200
Hallo Marc_Ho,
vielen Dank für deinen Kommentar, ich habe mal eine Klammer hinzugefügt, ich hoffe, dass es jetzt passt. Was meintest du denn mit den Formatierungsfehlern, bzw. wann treten die bei dir auf? Da ist mir jetzt leider gerade nichts aufgefallen.
LG Mark
Marc_Ho 2020-06-08 14:08:06+0200
Hallo Mark mit k,

bei mir treten (Firefox, Windows) die Probleme selbst bei Werten +1, -1 und 1 auf, die Zahlen liegen dann übereinander. Häufiger tritt das Problem auf. wenn man z.B. +2, -0.5 und 1 nimmt, wohl weil dann die anderen Zahlen "länger" werden, obwohl du sie rundest.

Herzliche Grüße

Marc mit c
MarK97 2020-06-09 13:04:48+0200
Hey Marc mit c,
jetzt weiß ich was du meinst, das ist tatsächlich ein bisschen unschön, ich werde demnächst mal schauen, was ich da machen kann.
LG MarK
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Astor 2019-12-10 17:27:51+0100
Beim "ergänzen" würde ich formulieren: "Man addiert die Hälfte der Vorzahl von x dazu und subtrahiert sie danach wieder". Manchmal wissen Schüler nicht, welche Bedeutung "p" hat.
kathongi 2019-12-12 09:56:56+0100
Mir wäre bei deiner Formulierung nicht klar, was du mit "Vorzahl" meinst. Ich dachte zunächst an den Vorgänger einer natürlichen Zahl und war verwirrt :D

Ich fand den Abschnitt zum Ergänzen zu knapp und habe ein paar Stellen umformuliert.

Wie findest du die Formulierung jetzt?
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DerDunkleLord 2019-08-20 15:15:20+0200
Entweder bin ich auf beiden Augen blind oder einfach nur blöd.. Könnte man hier vielleicht noch z erklären?
Nish 2019-08-21 20:01:49+0200
Hallo DerDunkleLord,

meinst du die Erklärungen im Abschnitt "Sonderfall bx=0"? Bin mir nicht ganz sicher, was du genau meinst oder erklärt brauchst!

Daher würde ich dir gerne erst wieder ausführlicher antworten, wenn du es mir genauer gesagt hast, wozu du eine Erklärung brauchst ;)

Ich habe diesen Abschnitt eben auf die Schnelle mal überarbeitet. Vllt. hilft das ja schon. Ich bin mir aber auch bewusst, dass man diesen Abschnitt nochmal genauer anschauen muss :) Danke also schonmal für das Nachfragen!

LG und bis bald,
Nish
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Zu article Quadratische Ergänzung: Zur Nummer 3
DavidA 2016-09-22 09:46:05+0200
Man könnte im Bereich 3 bei "Ergänzen" vielleicht noch etwas genauer auf die Form der binomischen Formel eingehen. Also (a+b)²=a²+2ab+b², wobei man hier speziell in dem Beispiel die 6 umschreibt in 2*3! Dann kann man nämlich sehr einfach a und b ablesen. Vielleicht ist dann ersichtlichter, woher (p/2)² kommt! ;)

z.B:

x²+6x quadratisch ergänzen:

(vielleicht noch beschreiben, dass man +3² -3²=0 mit einbaut, da man ja die binomische Formel erhalten möchte aber eine äquivalente Umformung nötig ist, das heißt man addiert Null und fügt somit nichts hinzu, die Gleichheit bleibt erhalten

x²+2*3*x = x² + 2*3*x + 3² -3² = (x² + 2*3*x + 3²) -3² = (x+3)² -9

Was haltet ihr davon?
Nish 2016-09-25 10:54:15+0200
Finde ich sehr gut. Vor allem der Schritt +3^2-3^2 sollte hier deutlicher gezeigt werden. Ich habe leider keine Zeit die Änderungen vorzunehmen. Ich suche mal im Team jdn., der das erledigt.

LG,
Nish
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