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Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, um einen quadratischen Term umzuformen.

Man geht aus von der Form ax2+bx+c und landet am Ende der Umformung bei der Scheitelform a(xd)2+e.

ax2+bx+ca(xd)2+e

Die quadratische Ergänzung wird verwendet, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden oder ihre Nullstellen zu bestimmen. Sie kann auch benutzt werden, um quadratische Gleichungen zu lösen.

Vorgehensweise am Beispiel

Quadratische Ergänzung des Terms 12x+17+2x2

Vorgehen

Term

12x+17+2x2

1) Sortieren

Sortiere den Term absteigend nach den Potenzen von x.

x2x Konstanten

Hier: 2x2 nach vorne bringen

=2x2+12x+17

2) Ausklammern

Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei Termen, die ein x enthalten, ausklammern. Faktorisieren

=2(x2+6x)+17

3) Ergänzen

Den Term in der Klammer kannst du nun so umformen, dass er wie ein Teil einer binomischen Formel aussieht.

Teile dafür den Vorfaktor von x durch 2, und schreibe dein Ergebnis als zweimal diese Zahl.

Hier: 6x=23x

Nun musst du nur noch eine Konstante ergänzen, um eine binomische Formel zu erhalten.

Um den Wert des Terms nicht zu verändern, musst du diese Konstante aber auch wieder abziehen. Er dient dir nur zum Umformen.

Hier: 6x=23x ergänzen mit 32=9 und ziehe 32 wieder ab.

=2(x2+23x+𝟑2𝟑2)+17

4) Zusammenfassen

Mithilfe der Binomischen Formeln kannst du nun Teile des Terms zusammenfassen.

Hier: Der Term x2+23x+32 ist eine aufgelöste erste binomische Formel.

=2((𝒙+𝟑)𝟐32)+17

5) Klammer ausmultiplizieren

Multipliziere nun die Klammer aus, welche keine binomische Formel enthält.

Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden (x+3)2 und (9)

=2(x+3)2𝟏𝟖+17

6) Rechte Summe ausrechnen

Berechne den Wert der Konstanten.

Hier: 18+17=1

Das Ergebnis ist die sog. Scheitelform

=2(x+3)2𝟏

Veranschaulichung der Vorgehensweise durch Applet

Beachte: GeoGebra rundet alle Werte auf 2 Nachkommastellen. Es können daher in der Anzeige Ungenauigkeiten entstehen, das Applet selbst rechnet aber mit den genauen Werten weiter.

Damit die Funktionsterme korrekt angezeigt werden, bitte nur Zahlen mit höchstens 3 Ziffern angeben, sonst gibt es Überlappungen.

Sonderfall bx=0

Wenn der lineare Term bx fehlt, lautet die Ausgangsgleichung ax2+c=0.

Hier gibt es keinen x-Term. Es fehlt also der Ausdruck, dessen Vorfaktor man bei der quadratischen Ergänzung halbieren und quadrieren muss.

Deshalb die Überlegung: Wann fällt bei einer binomischen Formel (w+z)2=w2+2wz+z2 der gemischte Term weg?

2wz=0w=0oderz=0, denn ein Produkt (hier: wz) ist genau dann 0, wenn eines der Faktoren (hier: w bzw. z) null ist.

Da w2=x2 und damit w=x nicht 0 ist, muss also z=0 sein.

Man müsste also mit z2=02=0 ergänzen - ein überflüssiger Vorgang.

Betrachtet man jetzt noch einmal die Ausgangsgleichung, dann erkennt man, dass bereits die Scheitelform gegeben ist, denn ax2+c=a(x+0)2+c.

Wozu dient die quadratische Ergänzung?

Scheitelpunkt bestimmen

Mithilfe der Scheitelform kann man direkt den Scheitelpunkt berechnen.

Ist die Scheitelform  a(xd)2+e, so liegt der Scheitelpunkt bei  (d|e).

Lösungen einer quadratischen Gleichung

Eine normale quadratische Gleichung der Form ax2+bx+c=0 kann man nicht ohne Weiteres lösen, da die gesuchte Variable x sowohl im Quadrat, als auch linear vorkommt. In der Scheitelform ist dieses Problem behoben. Die Variable steht nur noch einmal in der binomischen Formel.

Das ermöglicht ein Lösungsverfahren mit Wurzelziehen.

Beispiel: 3(x1)212=0

3(x1)212=0+12
3(x1)2=12:3
(x1)2=4 
x1=±2+1
x=±2+1
L={1;3}

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