Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, um einen quadratischen Term umzuformen.
Die quadratische Ergänzung wird verwendet, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden oder ihre Nullstellen zu bestimmen. Sie kann auch benutzt werden, um quadratische Gleichungen zu lösen.
Vorgehensweise am Beispiel
Quadratische Ergänzung des Terms
1) Sortieren
Sortiere den Term absteigend nach den Potenzen von .
Konstanten
Hier: nach vorne bringen
2) Ausklammern
Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei Termen, die ein enthalten, ausklammern. Faktorisieren
3) Ergänzen
Den Term in der Klammer kannst du nun so umformen, dass er wie ein Teil einer binomischen Formel aussieht.
Teile dafür den Vorfaktor von durch , und schreibe dein Ergebnis als zweimal diese Zahl.
Hier:
Um den Wert des Terms nicht zu verändern, musst du diese Konstante aber auch wieder abziehen. Er dient dir nur zum umformen.
Hier: ergänzen mit und ziehe wieder ab.
4) Zusammenfassen
Hier: Der Term ist eine aufgelöste erste binomische Formel.
Multipliziere nun die Klammer aus, welche keine binomische Formel enthält.
Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden und
6) Rechte Summe ausrechnen
Brechne den Wert der Konstanten.
Hier:
Veranschaulichung der Vorgehensweise durch Applet
Beachte: GeoGebra rundet alle Werte auf 2 Nachkommastellen. Es können daher in der Anzeige Ungenauigkeiten entstehen, das Applet selbst rechnet aber mit den genauen Werten weiter.
Damit die Funktionsterme korrekt angezeigt werden, bitte nur Zahlen mit höchstens 3 Ziffern angeben, sonst gibt es Überlappungen.

Sonderfall bx = 0
Wenn der lineare Term fehlt, lautet die Ausgangsgleichung .
Hier gibt es keinen x-Term. Es fehlt also der Ausdruck, dessen Vorfaktor man bei der quadratischen Ergänzung halbieren und quadrieren muss.
Deshalb die Überlegung: Wann fällt bei einer binomischen Formel der gemischte Term weg?
,denn ein Produkt (hier: ) ist genau dann , wenn eines der Faktoren (hier: bzw. ) null ist.
Da und damit nicht ist, muss also sein.
Man müsste also mit ergänzen - ein überflüssiger Vorgang.
Betrachtet man jetzt noch einmal die Ausgangsgleichung, dann erkennt man, das bereits die Scheitelform gegeben ist, denn .
Wozu dient die quadratische Ergänzung?
Scheitelpunkt bestimmen
Ist die Scheitelform , so liegt der Scheitelpunkt bei .
Lösungen einer quadratischen Gleichung
Eine normale quadratische Gleichung der Form kann man nicht ohne Weiteres lösen, da die gesuchte Variable x sowohl im Quadrat, als auch linear vorkommt. In der Scheitelform ist dieses Problem behoben. Die Variable steht nur noch einmal in der binomischen Formel.
Das ermöglicht ein Lösungsverfahren mit Wurzelziehen.
Beispiel:
vielen Dank für deinen Kommentar, ich habe mal eine Klammer hinzugefügt, ich hoffe, dass es jetzt passt. Was meintest du denn mit den Formatierungsfehlern, bzw. wann treten die bei dir auf? Da ist mir jetzt leider gerade nichts aufgefallen.
LG Mark
bei mir treten (Firefox, Windows) die Probleme selbst bei Werten +1, -1 und 1 auf, die Zahlen liegen dann übereinander. Häufiger tritt das Problem auf. wenn man z.B. +2, -0.5 und 1 nimmt, wohl weil dann die anderen Zahlen "länger" werden, obwohl du sie rundest.
Herzliche Grüße
Marc mit c
jetzt weiß ich was du meinst, das ist tatsächlich ein bisschen unschön, ich werde demnächst mal schauen, was ich da machen kann.
LG MarK