Bestimme die Definitions - und Wertemenge der folgenden Funktionen.
f(x)=â2x2+4xâ4
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
1. Definitionsmenge
Der Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) gibt an, welche x-Werte in eine Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen.
Bei ganzrationalen Funktionen ist die Definitionsmenge immer R, also gilt:
Dfâ=R2. Wertemenge
Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
FĂŒr die Ermittlung des Wertebereichs bringe die quadratische Funktion f(x)=â2x2+4xâ4 auf die Scheitelpunktsform.
f(x) = â2x2+4xâ4 â Klammere (-2) aus.
= â2â (x2â2x+2) â Mache die quadratische ErgĂ€nzung.
= â2â (x2â2x+12â12+2) â Fasse zusammen.
= â2â ((xâ1)2+1) â Multipliziere die Klammer aus.
= â2â (xâ1)2â2 Lies den Scheitel und die Ăffnungsrichtung ab.
Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(1âŁâ2).
Die Parabel ist nach unten geöffnet, d.h. der gröĂte y-Wert ist y=â2.
Gib die Wertemenge an.
Wfâ=]ââ;â2]Hast du eine Frage oder Feedback?
g(x)=x2â94xâ1â
1. Definitionsmenge
Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf. Bei gebrochen-rationalen Funktionen ist der Funktionsterm ein Bruch, der nur definiert ist, wenn der Nenner ungleich null ist. (Durch null darf nicht geteilt werden.)
Setze den Nenner x2â9 gleich null:
x2â9 = 0 +9 â Löse nach x auf.
x2 = 9 â â Ziehe die Wurzel.
x1,2â = ±3 FĂŒr x=â3 bzw. x=3 wĂŒrde der Nenner null sein.
Die Zahlen â3 und 3 mĂŒssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, da bei x=â3 und x=3 jeweils eine DefinitonslĂŒcke vorliegt.
Der Definitionsbereich lautet:Â
Dgâ=R\{â3;3}2. Wertemenge
Die Wertemenge (oder Wertebereich) einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.
Die Funktion g(x)=x2â94xâ1â=(xâ3)â (x+3)4xâ1â hat zwei Polstellen jeweils mit Vorzeichenwechsel bei â3 und 3 (wegen des ungeraden Exponenten 1).
Betrachtest du das Intervall ]â3;3[ zwischen den beiden Polstellen, so gilt:
xââ3+limâx2â94xâ1â=â und xâ3âlimâx2â94xâ1â=ââ.
AuĂerdem hat die Funktion an der Stelle x=41â eine Nullstelle.
Somit durchlaufen die Funktionswerte in diesem Intervall alle Werte von â bis ââ, d.h. die Wertemenge ist:
Wgâ=RHast du eine Frage oder Feedback?