Aufgaben zur Polynomdivision - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Gleichung der Geraden $g:\;y=-x+3$

und die Gleichung der ganzrationalen Funktion $f:\;y=0{,}5x^3-3x^2+4{,}5x$ .

Berechne die Schnittpunkte von $G_{f}$ und $G_{g}$ .

Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Schnittpunkte berechnen

Die beiden Funktionen haben einen Schnittpunkt, wenn sie für einen gleichen x-Wert denselben y-Wert haben. Setze also die Funktionen $f$ und $g$ gleich. Die Funktionen lauten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} &&&f(x)&=&g(x)&\\0{,}5x^3&-3x^2&+4{,}5x& &=&-x+3&|-3+x\\ 0{,}5x^3&-3x^2&+5{,}5x&-3&=&0\end{array}$

Für Polynome vom Grad 3 musst du eine Nullstelle erraten. Alle weiteren Nullstellen lassen sich dann mit einer Polynomdivision ermitteln.

Eine Nullstelle von $0{,}5x^3-3x^2+5{,}5x-3$ ist $x_{1} = 1$ , denn

\displaystyle 0{,}5 \cdot 1^3-3 \cdot 1^2+5{,}5 \cdot 1-3 = 0{,}5 - 3 + 5{,}5 -3 =0

Um den ersten Schnittpunkt von $f$ und $g$ zu bestimmen, kannst du nun $x_{1} = 1$ entweder in $f$ oder $g$ einsetzen.

Einsetzen in $f$ ergibt:

$f\left(1\right)=-1+3=2$

Der Schnittpunkt ist dann: $S_1=\left(1\vert2\right)$

Polynomdivision

Wende nun die Polynomdivision auf folgende Gleichung an:

$0{,}5x^3-3x^2+5{,}5x-3=0$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(0{,}5x^3-3x^2\;+5{,}5x-3):(x-1)=0{,}5x^2-2{,}5x+3\\\underline{-(0{,}5x^3-0{,}5x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2{,}5x^2+5{,}5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2{,}5x^2+2{,}5x\;\;)\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Verbleibende Nullstellen berechnen

Von $0{,}5x^2-2{,}5x+3$ kannst du nun noch die beiden Nullstellen bestimmen. Nutze hierfür beispielsweise die Mitternachtsformel.

$0{,}5x^2-2{,}5x+3=0$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\Rightarrow x_{2{,}3}&=&\frac{2{,}5\pm\sqrt{(-2{,}5)^2-4\cdot0{,}5\cdot3}}{(2\cdot0{,}5)}\\&=&\frac{2{,}5\pm\sqrt{0{,}25}}1\\&=&\frac{2{,}5\pm0{,}5}1\end{array}$

$x_2=\frac{2{,}5+0{,}5}1=\frac31=3$

$x_3=\frac{2{,}5-0{,}5}1=\frac21=2$

Die Nullstellen von $0{,}5x^3-3x^2+5{,}5x-3$ sind also:

\displaystyle x_1=1;\;\;\; x_2=3;\;\;\; x_3=2;

weitere Schnittpunkte berechnen

Den zweiten und dritten Schnittpunkt von $f$ und $g$ , kannst du nun bestimmen, indem du $x_{2} = 3$ und $x_{3} = 2$ in $f$ oder $g$ einsetzt.

Einsetzen in $f$ ergibt:

$f(3)=-3 +3 = 0 \Rightarrow S_2(3|0)$
$f(2)=-2+3=1 \Rightarrow S_3(2|1)$

Schnittpunkte

Die Schnittpunkte der beiden Funktionen liegen bei $S_1(1\vert2)$ , $S_2(3\vert0)$ und $S_3(2\vert1)$ .

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