Aufgaben zur Polynomdivision

Aufgaben
Vorübungen zur Polynomdivision - Potenzterme
Wende Potenzgesetze an und berechne.
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4x5:x34x^5:x^3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

Benutze das Potenzgesetz am:an=am−na^m:a^n=a^{m-n}
4x5:x3=4⋅x5−3=4x2\displaystyle 4x^5:x^3=4\cdot x^{5-3}=4x^2
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x5:(−4x3)\displaystyle x^5:(-4x^3)
Klicke an was stimmt!
−0,25x2-0,25x^2
−4x2\displaystyle -4x^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

Beachte: (a⋅xm):(b⋅xn)=(a:b)⋅xm−n(a\cdot x^m):(b\cdot x^n)=(a:b)\cdot x^{m-n}

x5:(−4x3)=−(1:4)⋅x(5−3)=−0,25⋅x2\displaystyle x^5:(-4x^3)=-(1:4)\cdot x^{ (5-3)}=-0,25\cdot x^2
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(−x)3:x2(-x)^3:x^2
Setze deine Lösung ein!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

Beachte: (−1)3=−1(-1)^3=-1
(−x)3:x2=(−1)3⋅x3:x2=−x\displaystyle (-x)^3:x^2=(-1)^3\cdot x^3:x^2=-x
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(−x)2:2x(-x)^2:2x
Klicke an was stimmt!
0,5x0,5x
−0,5x-0,5x
2x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

(−x)2:2x=x2:2x=(1:2)⋅x2:x=0,5x(-x)^2:2x=x^2:2x=(1:2)\cdot x^2:x=0,5x
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3x2⋅2x3−x6:x3x^2\cdot2x^3-x^6:x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

Potenzgesetz für die Multiplikation und für die Division anwenden.
3x2⋅2x3−x6:x=6x5−x5=5x5\displaystyle 3x^2\cdot2x^3-x^6:x=6x^5-x^5=5x^5
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−4x5:(−x2)+x⋅(−2x2)-4x^5:(-x^2)+x\cdot(-2x^2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

Potenzgesetz für die Multiplikation und für die Division beachten.
−4x5:(−x2)+x⋅(−2x2)=4x3−2x3=2x3\displaystyle -4x^5:(-x^2)+x\cdot(-2x^2)=\\4x^3-2x^3=2x^3
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Vorübungen zur Polynomdivision - Anwendung des Distributivgesetzes der Division
Berechne unter Anwendung des Distributivgesetzes der Division, falls dieses möglich ist.
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(28x−14):7(28x-14):7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz

(28x−14):7=28x:7−14:7=4x−2(28x-14):7= 28x:7-14:7=4x-2
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(28x⋅14):7(28x\cdot14):7

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz

Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
Die Klammer enthält keine Summe sondern ein Produkt.
Also: entweder 28 wird durch 7 geteilt oder 14. Aber nicht beide Zahlen.
(28x⋅14):7=28x⋅(14:7)=28x:2=56x(28x\cdot14):7= 28x\cdot(14:7)=28x :2=56x
oder so gerechnet:
(28x⋅14):7=(28:7)x⋅14=4x⋅14=56x(28x\cdot14):7=(28:7)x\cdot14=4x\cdot 14=56x
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(6x3−4x2+1):2(6x^3-4x^2+1):2
(6x3−4x2+1):x(6x^3-4x^2+1):x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz

(6x3−4x2+1):x=6x2−4x+1x(6x^3-4x^2+1):x=6x^2-4x+\displaystyle \frac{1}{x}
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(6x3−4x2+1):2x(6x^3-4x^2+1):2x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz

Hier kannst du das Distributivgesetz der Division anwenden. Daraus folgt:
(6x3−4x2+1):2x=3x2−2x+12x\displaystyle (6x^3-4x^2+1):2x=3x^2-2x+\displaystyle \frac{1}{2x}
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(5x4−14x3+21x+2):7x3(5x^4-14x^3+21x+2):7x^3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz

Hier kannst du das Distributivgesetz der Division anwenden. Damit folgt:
(5x4−14x3+21x+2):7x3=57x−2+3x2+27x3(5x^4-14x^3+21x+2):7x^3=\displaystyle \frac{5}{7}x-2+\displaystyle \frac{3}{x^2}+ \displaystyle \frac{2}{7x^3}
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28x:(28+14)28x:(28+14)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz

Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
Es gibt kein Rechengesetz der Form:
28x:(28+14)=28x:42=2x:3=23x28x:(28+14)=28x:\color{#Cc0000}{42} =2x:3=\displaystyle\frac{2}{3}x
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6x2:(2x+x)6x^2:(2x+x)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz

Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
Es gibt kein Rechengesetz der Form:
6x2:(2x+x)=6x2:3x=2x6x^2:(2x+x)=6x^2:\color{#Cc0000}{3x}=2x
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Vorübungen zur Polynomdivision - Ordnen von Polynomen
Bringe folgende Polynome in eine geordnete Form. Gib den Grad des Polynoms und seine Koeffizienten an.
Hinweis
Ein Polynom ist geordnet, wenn
  1. Glieder mit gleichen Exponenten zusammengefasst sind und
  2. der Funktionsterm nach fallenden Exponenten geordnet ist.
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1+2x+x2−4x31+2x+x^2-4x^3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome

Ein Polynom ist ein Term der Form
an⋅xn+an−1⋅xn−1+⋯+a1⋅x+a0.\displaystyle a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_1\cdot x+a_0.
Polynom aus der Aufgabenstellung:
1+2x+x2−4x3\displaystyle 1+2x+x^2-4x^3
geordnet:
−4x3+x2+2x+1\displaystyle \quad-4x^3+x^2+2x+1
Grad des Polynoms: 3
Koeffizienten:
a3=−4;a2=1;a1=2;  a0=1\displaystyle \quad a_3=-4;\quad a_2=1;\quad a_1=2;\;\quad a_0=1
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2+5x−2x2+x+12+5x-2x^2+x+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome

Ein Polynom ist ein Term der Form
an⋅xn+an−1⋅xn−1+⋯+a1⋅x+a0.\displaystyle a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_1\cdot x+a_0.
Polynom aus der Aufgabenstellung:
2+5x−2x2+x+1\displaystyle 2+5x-2x^2+x+1
zusammengefasst und geordnet:
−2x2+6x+3\displaystyle \quad -2x^2+6x+3
Grad des Polynoms: 2
Koeffizienten:
a2=−2;a1=6;a0=3\displaystyle \quad a_2=-2;\quad a_1=6;\quad a_0=3
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−3+3x2−2x2+1-3+3x^2-2x^2+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome

Ein Polynom ist ein Term der Form
an⋅xn+an−1⋅xn−1+⋯+a1⋅x+a0.\displaystyle a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_1\cdot x+a_0.
Polynom aus der Aufgabenstellung:
−3+3x2−2x2+1\displaystyle -3+3x^2-2x^2+1
zusammengefasst und geordnet:
x2−2\displaystyle \quad x^2-2
Grad des Polynoms: 2
Koeffizienten:
a2=1;a1=0;a0=−2\displaystyle \quad a_2 = 1;\quad a_1 =0; \quad a_0=-2
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1−x41-x^4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome

Ein Polynom ist ein Term der Form
an⋅xn+an−1⋅xn−1+⋯+a1⋅x+a0.\displaystyle a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_1\cdot x+a_0.
Polynom aus der Aufgabenstellung:
1−x4\displaystyle 1-x^4
geordnet:
−x4+1\displaystyle \quad -x^4+1
Grad des Polynoms: 4
Koeffizienten:
a4=−1;a3=a2=a1=0;a0=0\displaystyle \quad a_4 =-1; \quad a_3 =a_2 = a_1 = 0; \quad a_0=0
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2⋅(1−3x)−(5−x2−2x3)⋅32\cdot(1-3x)-(5-x^2-2x^3)\cdot3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome

Ein Polynom ist ein Term der Form an⋅xn+an−1⋅xn−1+…+a1⋅x+a0a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1}+ … +a_1\cdot x + a_0 .
2⋅(1−3x)−(5−x2−3x3)⋅3\displaystyle 2\cdot(1-3x)-(5-x^2-3x^3)\cdot3
Ausmultiplizieren, zusammenfassen und ordnen.

2⋅(1−3x)−(5−x2−3x3)⋅3=2−6x−15+3x2+6x3=6x3+3x2−6x−13\displaystyle \begin{array}{rcl} &&2\cdot(1-3x)-(5-x^2-3x^3)\cdot3\\ &=&2-6x-15+3x^2+6x^3\\&=& 6x^3+3x^2-6x-13 \end{array}
Grad des Polynoms: 3
Koeffizienten:
a3=6;a2=3;a1=−6;a0=−13\displaystyle \quad a_3 =6; \quad a_2 = 3; \quad a_1 = -6; \quad a_0 =-13
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Klicke an, welcher Quotient die Polynomdivision
(1+x4):(2x−x2+x+1)\displaystyle (1+x^4):(2x-x^2+x+1)
in geordneter Form wiedergibt.
(x4+1):(−x2+3x+1)(x^4+1):(-x^2+3x+1)
(x4+1):(3x−x2+1)(x^4+1):(3x-x^2+1)
(1+x4):(−x2+3x+1)(1+x^4):(-x^2+3x+1)
(−x2+3x+1):(x4+1)(-x^2+3x+1):(x^4+1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome

Ein Polynom ist ein Term der Form
an⋅xn+an−1⋅xn−1+⋯+a1⋅x+a0.\displaystyle a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots+a_1\cdot x+a_0.
Polynomdivision aus der Aufgabenstellung:
(1+x4):(2x−x2+x+1)\displaystyle (1+x^4):(2x-x^2+x+1)
Polynom des Dividenden nach fallenden Exponeten ordnen:
1+x4=x4+1\displaystyle 1+x^4=x^4+1
Im Divisorpolynom die linearen Glieder addieren und als quadratisches Polynom ordnen:
2x−x2+x+1=−x2+3x+1\displaystyle 2x-x^2+x+1=-x^2+3x+1
Der geordnete Quotient der Polynomdivision lautet:
(x4+1):(−x2+3x+1)\displaystyle (x^4+1):(-x^2+3x+1)
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Vorübungen zur Polynomdivision - Subtraktion von Polynomen

Polynome subtrahiert man der besseren Übersichtlichkeit wegen oft spaltenweise.

Beispiel:

Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen$$f(x) = 3x^4-2x^3+x^2-1\quad\text{und}\quad g(x)= 2x^4+x^3-2x^2+x$$ Berechne %%f(x)-g(x)%%.

%%\begin{align}f(x)-g(x) &=(3x^4-2x^3+x^2-1)-(2x^4+x^3-2x^2+x)\\ \;\;\;&=3x^4-2x^3+x^2-1-2x^4-x^3+2x^2-x\\ &=x^4-3x^3+3x^2-x-1\end{align}%%

Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man die beiden Polynome für %%f(x)%% und %%g(x)%% untereinander schreibt und darauf achtet, dass die Glieder mit gleichen Exponeten genau untereinander stehen.

  1. Weg

2.Weg

Wer lieber spaltenweise addiert, der bildet zuerst %%\color{red}{-}g(x)%%.

Hinweise

Achte vor jeder Rechnung darauf, dass die Polynome nach fallenden Exponenten ihrer Glieder geordnet sind. Dies erreichst du durch eventuelles Umstellen der Glieder. Nur dadurch bleibt die Rechnung - auch bei späteren Polynomdivisionen - übersichtlich und du vermeidest Flüchtigkeitsfehler. Die beiden Polynome 4.Grades in diesem Beispiel sind bereits "geordnet".

Achte auch auf folgende Stolperfallen, die hier oft Ärger verursachen:

Es gilt z.B. %%x^2-(-2x^2)=x^2+2x^2=3x^2%%.

Beachte auch, dass beim Übergang von %%g(x)%% zu %%\color{red}{-}g(x)%% %%\color{red}{\text{alle}}%% Glieder des Polynoms ihr Rechenzeichen ändern.

Bilde für folgende Aufgaben die Differenz %%f(x)-g(x)%%.

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%%\begin{align} f(x) &=\;\;x^4-2x^3+\;x^2-x+2\\ g(x) &=2x^4+\;\,x^3-3x^2-x-3 \end{align}%%

Klicke an was stimmt!

Hier ist %%f(x)+g(x)%% gebildet!

Der Fehler liegt beim linearen Glied!

prima!

Polynome

%%\begin{align} f(x) &=x^4-2x^3+x^2-x+2\\g(x) &=2x^4+x^3-3x^2-x-3\end{align}%%

Bilde %%\color{red}{-}g(x)%% und addiere dann %%f(x)%% und %%\color{red}{-}g(x)%% spaltenweise.

%%\begin{align} f(x) &=\quad \,x^4-2x^3+\;\;\;x^2-x+2\\\color{red}{-}g(x) &=\underline{\color{red}{-}2x^4\,\color{red}{-}\;x^3\;\color{red}{+}3x^2\;\color{red}{+}x\color{red}{+}3}\\ f(x)-g(x) &=\;\;-x^4-3x^3+4x^2\quad\quad+5\end{align}%%

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%%\begin{align} f(x) &=3x^3+x-1\\ g(x)&=x^3+1 \end{align}%%

Klicke an was stimmt!

Das konstante Glied stimmt nicht!

Hier wurde %%f(x)+g(x)%% berechnet!

prima!

%%f(x)=-x^5+2x-1%% und %%g(x)=-3x^5+x^2+2x-1%%

Klicke an was stimmt!

Hier wurde %%f(x)+g(x)%% berechnet!

Hier stimmt das Glied beim höchsten Exponenten nicht!

prima!

%%f(x)=1-x^3%% und %%g(x)=x^3+2x+x%%

Klicke an was stimmt!

Hier wurde %%g(x)-f(x)%% berechnet!

Das lineare Glied stimmt nicht!

prima!

Polynome

Die Polynome sind noch nicht geordnet (%%f(x))%% bzw. zusammengefasst (%%g(x)%%).

%%f(x)=1-x^3%% noch nicht geordnet:

Geordnet: %%f(x)=-x^3+1%%

%%g(x)=x^3+2x+x%% noch nicht zusammengefasst:

Zusammengefasst: %%\color{red}{-}g(x)=\color{red}{-}x^3\color{red}{-}3x%%

Addiere die geordneten und zusammengefassten Poynome spaltenweise.

%%\begin{align} f(x) &=-x^3\quad\quad+1\\ \color{red}{-}g(x) &=\underline{-x^3\;-3x\quad\quad}\\ f(x)-g(x) &=-2x^3-3x+1 \end{align}%%

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%%f(x)=2x^2-1+x^3+3x+2%% und %%g(x)=3-x+x^2%%

Klicke an was stimmt.

Dies ist %%f(x)+g(x)%%.

Das lineare Glied ist falsch!

prima!

Polynome

%%\begin{align} f(x) &=2x^2-1+x^3+3x+2\\ g(x) &=3-x+x^2 \end{align}%%

In den Polynomen zusammenfassen und ordnen. Dazu %%-g(x)%% bilden.

%%\begin{align} f(x) &=x^3+2x^2+3x+1\\ \color{red}{-}g(x) &= \underline{\quad\;\;-x^2\;+\,x-\,3}\\ f(x)-g(x) &= x^3+\; x^2\;+4x-2 \end{align}%%

spaltenweise addieren

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Das Polynom %%x^3-1%% sei das Ergebnis der Polynomdifferenz %%f(x)-g(x)%%.

Kreuze an was stimmt.

Dies ist nur in einem Sonderfall möglich. Sieh in der Lösung nach!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig überlegt. Kannst du das Ergebnis auch angeben?

Polynome

Stets kann man aus %%f(x)-g(x)%% auch %%g(x)-f(x)%% erschließen, da immer gilt: $$g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))$$

Also ist hier:$$g(x)-f(x)=-(x^3-1)=1-x^3$$

%%f(x)+g(x)%% kann man aus %%f(x)-g(x)%% nur im Sonderfall, dass %%g(x)%% das Nullpolynom %%g(x)=0%% ist erschließen. Dann ist %%f(x)+g(x)=f(x)-g(x)%%.

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Wie sicher beherrscht du das Verfahren der Polynomdivision? Führe folgende Polynomdivisionen durch!
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(−2x3+3x2+2x−3):(−2x+3)(-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
%%\begin{array} {l}\hphantom{-} (-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)=x^2-1\\\color{red}{-(}\underline{-2x^3+3x^2}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x}0\;\;\;+\;0 \;\; +2x-3\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+}\,\color{red}{-(}\underline{2x-3}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+2x-3}0\end{array}%%
Es gilt also:
(−2x3+3x2+2x−3):(−2x+3)=x2−1\displaystyle (-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)=x^2-1
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(−2x3+3x2+2x−3):(x2−1)(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
Hinweis:
Schreibe bei einer Polynomdivision Glieder mit gleichem Exponenten möglichst immer untereinander. Das Verfahren wird dadurch übersichtlicher und du vermeidest Rechenfehler.
%%\begin{array} {l}\hphantom{-}(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)=-2x+3\\ \color{red}{-(}\underline{-2x^3 \phantom{+3x^21} +2x}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x^3+3}3x^2\phantom{+2x1} -3\\\hphantom{-2x^3x^2}\color{red}{-(}\underline{3x^2\phantom{+2x1} -3}\color{red}{)}\\\hphantom{-2x^2+3x^2+2x-31}0\end{array}%%
Es gilt also:
(−2x3+3x2+2x−3):(x2−1)=−2x+3\displaystyle (-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)=-2x+3
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(x4−x3−21x2+x+20):(x2+5x+4)(x^4-x^3-21x^2+x+20):(x^2+5x+4)
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
      (x4−x3−21x2        +x+20):(x2+5x+4)=x2−6x+5−(x4+5x3+4x2)        ‾                  −6x3−25x2      +x          −(−6x3−30x2−24x)        ‾                                                  5x2+25x+20                                        −(5x2+25x+20)‾                                                                                            0\begin{array}{l}\;\;\;(x^4-x^3-21x^2\;\;\;\;+x+20):(x^2+5x+4)=x^2-6x+5\\\underline{-(x^4+5x^3+4x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x^3-25x^2\;\;\;+x\\\;\;\;\;\;\underline{-(-6x^3-30x^2-24x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;5x^2+25x+20\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(5x^2+25x+20)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
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(2x3+1−x2+x4):(x4−x2+2x3+1)(2x^3+1-x^2+x^4):(x^4-x^2+2x^3+1)
Achtung Falle!
Nach dem Ordnen beider Polynome stellst du fest, dass das Dividendenpolynom und das Divisorpolynom gleich sind. Der Wert der Division ist demnach 11. Eine Polynomdivision entfällt somit.
(x4+2x3−x2+1):(x4+2x3−x2+1)=1(x^4+2x^3-x^2+1):(x^4+2x^3-x^2+1)=1
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(3x2+1):(2x3−1)(3x^2+1):(2x^3-1)
Achtung Falle!
Das Verfahren einer Polynomdivision entfällt, wenn der Grad des Divisorpolynoms größer ist als der Grad des Dividendenpolynoms.
Der Wert des Quotienten ist der Bruchterm aus beiden Polynomen.
(3x2+1):(2x3−1)=3x2+12x3−1(3x^2+1):(2x^3-1)=\displaystyle \frac{3x^2+1}{2x^3-1}
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(x5−x4+3x−3):(x−1)(x^5-x^4+3x-3):(x-1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
%%\begin{array} {l}\hphantom{-} (x^5-x^4+3x-3):(x-1)=x^4+3\\\color{red}{-(}\underline{x^5-x^4}\color{red}{)}\\\hphantom{(-(x^5-}\;0\;+3x-3\\\hphantom{(-2x^3+3}\,\color{red}{-(}\underline{3x-3}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+2}\;\;\;0\end{array}%%
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(x3+1,5x2−0,5):(x−0,5)(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
(x3+1,5x2−0,5):(x−0,5)(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)
Im Dividendenpolynom fehlt das Monom mit xx. Ergänze 0x=00x=0 im Dividendenpolynom, damit du das Verfahren der Polynomdivision wie gewohnt anwenden kannst.
(x3+1,5x2+0−0,5):(x−0,5)(x^3+1{,}5x^2+0-0{,5}):(x-0{,}5)
Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.
    (x3+1,5x2+0−0,5):(x−0,5)=x2+2x+1−(x3−0,5x2)        ‾                              2x2+0                      −(2x2−x)        ‾                                                    x−0,5                                          −(x−0,5)‾                                                                      0\begin{array}{l}\;\;(x^3+1{,}5x^2+0-0{,}5):(x-0{,}5)=x^2+2x+1\\\underline{-(x^3-0{,}5x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x^2+0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x^2-x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x-0{,}5\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x-0{,}5)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}
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(x2+1):(x−1)(x^2+1):(x-1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
(x2+1):(x−1)(x^2+1):(x-1)
Im Dividendenpolynom fehlt das Monom mit xx. Ergänze 0x=00x=0 im Dividendenpolynom, damit du das Verfahren der Polynomdivision wie gewohnt anwenden kannst.
(x2+0+1):(x−1)(x^2+0+1):(x-1)
Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.
%%\begin{array} {l}\hphantom{-}(x^2+0+1):(x-1)=x+1+\displaystyle\frac{2}{x-1}\\\color{red}{-(}\underline{x^2-x}\color{red}{)}\\\hphantom{(x^2+0}\space x+1\\\hphantom{(x^2+}\color{red}{-(}\underline{x-1}\color{red}{)}\\\hphantom{(x^2+1): )x}2\quad\leftarrow \text{Rest}\end{array}%%
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(4x5−x4):(2x2−x+1)(4x^5-x^4):(2x^2-x+1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Wende zum Lösen dieser Aufgabe das Verfahren der Polynomdivision an.
%%\begin{array} {l}\hphantom{-}(4x^5-\;\,x^4):(2x^2-x+1)=2x^3+0,5x^2-0,75x-0,625+\displaystyle \frac{0,125x+0,625}{2x^2-x+1}\\\color{red}{-(}\underline{4x^5-2x^4+\;2x^3}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5-x^4}x^4-\;2x^3\\\hphantom{(4x^5-}\;\color{red}{-(}\underline{x^4-0,5x^3+0,5x^2}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5--x^4}-1,5x^3-0,5x^2\\\hphantom{(4x^5-x^4}\color{red}{-(}\underline{-1,5x^3+0,75x^2-0,75x}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2-}\,-1,25x^2+\,0,75x\\\hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2}\;\color{red}{-(}\underline{-1,50x^2+\,0,625x-0,625}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2-x+1):(2x^2}0,125x+0,625\quad\text{Restpolynom}\end{array}%%
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Warum einfach, wenn's auch umständlich geht?
Das Ergebnis der nachfolgenden Division bestätigt man leicht mit dem Distributivgesetz der Division:
(10x2−5x+1):5=2x2−x+0,2\displaystyle (10x^2-5x+1):5 = 2x^2-x+0,2
Kannst du den Wert des Quotienten aber auch über eine Polynomdivision berechnen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Lösen mit Polynomdivision

Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du das Verfahren der Polynomdivision kennen.
Polynome unterscheidet man unter anderem nach ihrem Grad, dem höchsten Exponenten der vorkommenden Potenzglieder.
Eine Konstante, wie die Zahl 55, kann deshalb wegen 5=5⋅x05=5\cdot x^0 als Polynom 0. Grades betrachtet werden.
Der zu berechnende Quotient kann demnach als Polynomdivision eines Polynoms 3.Grades durch ein Polynom 0.Grades angesehen werden.
Die charakteristischen dreischrittigen Arbeitsvorgänge Division→Multiplikation→Subtraktion\text{Division}\rightarrow\text{Multiplikation}\rightarrow\text{Subtraktion} ergeben sich hier wie folgt:
%%\begin{array} {l}\hphantom{\text{1. Restpolynom}}(10x^2-5x+1):5=\color{red}{2x^2}\color{blue}{-x}\color{green}{+0,2}\\\hphantom{\text{1. Restpolyno}}\color{red}{-}\underline{10x^2 \quad \quad\quad}\\\color{red}{\text{1. Restpolynom}}\quad \quad \color{red}{-5x+1}\\\hphantom{\text{1. Restpolynom}}\quad \quad \color{red}{+}\underline{5x \quad\; }\\\hphantom{2x+}\color{blue}{\text{2. Restpolynom}}\quad \quad\;\; \color{blue}{+1}\\\hphantom{2x+3+4+10x^2+2x+}\;\;\,\underline{\color{red}{-}\,1}\\\hphantom{2x+3+2}\color{green}{\text{3. Restpolynom}}\quad \,\color{green}{0}\end{array}%%
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(x3+3x2−4x−12):(x−2)(x^3+3x^2-4x-12):(x-2)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
− (x3+3x2−4x−12):(x−2)=x2+5x+6−(x3−2x2)‾−(x3−15x2−4x(x3+−(5x2−10x)‾−(x3+3x2−x6x−12(x3+3x2−−(6x−12)‾−(x3+3x2−4x−120\phantom{-}\ (x^3+3x^2-4x-12):(x-2)=x^2+5x+6 \\-\underline{(x^3-2x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}5x^2-4x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(5x^2-10x)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-x}6x-12\\\phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(6x-12)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0
Es gilt also:
(x3+3x2−4x−12):(x−2)=x2+5x+6\displaystyle (x^3+3x^2-4x-12):(x-2)=x^2+5x+6
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(−4x+5x2−3+2x3):(2x+1)(-4x+5x^2-3+2x^3):(2x+1)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
Bevor du jedoch die Polynomdivision dürchführen kannst, musst du erst den Dividenden ordnen:
(−4x+5x2−3+2x3)=(2x3+5x2−4x−3)(-4x+5x^2-3+2x^3)=(2x^3+5x^2-4x-3)
Berechne nun (2x3+5x2−4x−3):(2x+1)(2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1) mit dem Verfahren der Polynomdivision:
%%\phantom{-}(2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1)=x^2+2x-3\\-\underline{(2x^3+x^2)}\\\phantom{-(2x^3+(}4x^2-4x\\\phantom{2x^3+}-\underline{(4x^2+ 2x)}\\\phantom{(2x^3++5x^2}-6x-3\\\phantom{2x^3+5x^2}-\underline{(-6x-3)}\\\phantom{(2x^3+5x^2-4x-3)}0%%
Es gilt also:
(2x3+5x2−4x−3):(2x+1)=x2+2x−3\displaystyle (2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1)=x^2+2x-3
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(x4+4x3+2x−3):(x+2)(x^4+4x^3+2x-3):(x+2)