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Aufgaben zur Polynomdivision

Lerne die Polynomdivision mit diesen gemischten Übungsaufgaben. Schaffst du sie alle?

  1. 1

    Vorübungen zur Polynomdivision - Potenzterme

    Wende Potenzgesetze an und berechne.

    1. 4x5:x34x^5:x^3

    2. Klicke an was stimmt!

    3. (x)3:x2(-x)^3:x^2

      Setze deine Lösung ein!


    4. (x)2:2x(-x)^2:2x

      Klicke an was stimmt!

    5. 3x22x3x6:x3x^2\cdot2x^3-x^6:x

    6. 4x5:(x2)+x(2x2)-4x^5:(-x^2)+x\cdot(-2x^2)

  2. 2

    Vorübungen zur Polynomdivision - Anwendung des Distributivgesetzes der Division

    Berechne unter Anwendung des Distributivgesetzes der Division, falls dieses möglich ist.

    1. (28x14):7(28x-14):7


    2. (28x14):7(28x\cdot14):7


    3. (6x34x2+1):2(6x^3-4x^2+1):2

    4. (6x34x2+1):x(6x^3-4x^2+1):x

    5. (6x34x2+1):2x(6x^3-4x^2+1):2x

    6. (5x414x3+21x+2):7x3(5x^4-14x^3+21x+2):7x^3

    7. 28x:(28+14)28x:(28+14)

    8. 6x2:(2x+x)6x^2:(2x+x)

  3. 3

    Vorübungen zur Polynomdivision - Ordnen von Polynomen

    Bringe folgende Polynome in eine geordnete Form. Gib den Grad des Polynoms und seine Koeffizienten an.

    1. 1+2x+x24x31+2x+x^2-4x^3

    2. 2+5x2x2+x+12+5x-2x^2+x+1

    3. 3+3x22x2+1-3+3x^2-2x^2+1

    4. 1x41-x^4

    5. 2(13x)(5x22x3)32\cdot(1-3x)-(5-x^2-2x^3)\cdot3

    6. Klicke an, welcher Quotient die Polynomdivision

      in geordneter Form wiedergibt.

  4. 4

    Vorübungen zur Polynomdivision - Subtraktion von Polynomen

    Polynome subtrahiert man der besseren Übersichtlichkeit wegen oft spaltenweise.

    Beispiel:

    Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen

    Berechne f(x)g(x)f(x)-g(x).

    f(x)g(x)=(3x42x3+x21)(2x4+x32x2+x)      =3x42x3+x212x4x3+2x2x=x43x3+3x2x1\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x)-g(x) &=(3x^4-2x^3+x^2-1)-(2x^4+x^3-2x^2+x)\\\;\;\;&=3x^4-2x^3+x^2-1-2x^4-x^3+2x^2-x\\ &=x^4-3x^3+3x^2-x-1\end{aligned}

    Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man die beiden Polynome für f(x)f(x) und g(x)g(x) untereinander schreibt und darauf achtet, dass die Glieder mit gleichen Exponeten genau untereinander stehen.

    1. Weg

    Bild

    2.Weg

    Wer lieber spaltenweise addiert, der bildet zuerst g(x)\color{red}{-}g(x).

    Bild

    Bilde für folgende Aufgaben die Differenz f(x)g(x)f(x)-g(x).

    1. f(x)=    x42x3+  x2x+2g(x)=2x4+  x33x2x3\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=\;\;x^4-2x^3+\;x^2-x+2\\g(x) &=2x^4+\;\,x^3-3x^2-x-3 \end{aligned}

      Klicke an was stimmt!

    2. f(x)=3x3+x1g(x)=x3+1\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} f(x) &=3x^3+x-1\\ g(x)&=x^3+1 \end{aligned}

      Klicke an was stimmt!

    3. f(x)=x5+2x1f(x)=-x^5+2x-1 und g(x)=3x5+x2+2x1g(x)=-3x^5+x^2+2x-1

      Klicke an was stimmt!

    4. f(x)=1x3f(x)=1-x^3 und g(x)=x3+2x+xg(x)=x^3+2x+x

      Klicke an was stimmt!

    5. f(x)=2x21+x3+3x+2f(x)=2x^2-1+x^3+3x+2 und g(x)=3x+x2g(x)=3-x+x^2

      Klicke an was stimmt.

    6. Das Polynom x31x^3-1 sei das Ergebnis der Polynomdifferenz f(x)g(x)f(x)-g(x).

      Kreuze an was stimmt.

  5. 5

    Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

    1. (x3+2x2x2):(x1)(x^3+2x^2-x-2):(x-1)

    2. (4x34x):(x+1)(4x^3-4x):(x+1)

    3. (23x3+2x283):(x+2)(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)

    4. (x48x29):(x3)(x^4-8x^2-9):(x-3)

  6. 6

    Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

    1. f(x)=x3x24x+4f(x)=x^3-x^2-4x+4

    2. g(x)=x3+3x216x+12g(x)=x^3+3x^2-16x+12

    3. h(x)=3x4+12x333x290xh(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x

    4. i(x)=x37x6i(x)=x^3-7x-6

  7. 7

    Wie sicher beherrscht du das Verfahren der Polynomdivision? Führe folgende Polynomdivisionen durch!

    1. (2x3+3x2+2x3):(2x+3)(-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)

    2. (2x3+3x2+2x3):(x21)(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)

    3. (x4x321x2+x+20):(x2+5x+4)(x^4-x^3-21x^2+x+20):(x^2+5x+4)

    4. (2x3+1x2+x4):(x4x2+2x3+1)(2x^3+1-x^2+x^4):(x^4-x^2+2x^3+1)

    5. (3x2+1):(2x31)(3x^2+1):(2x^3-1)

    6. (x5x4+3x3):(x1)(x^5-x^4+3x-3):(x-1)

    7. (x3+1,5x20,5):(x0,5)(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)

    8. (x2+1):(x1)(x^2+1):(x-1)

    9. (4x5x4):(2x2x+1)(4x^5-x^4):(2x^2-x+1)

    10. Warum einfach, wenn's auch umständlich geht?

      Das Ergebnis der nachfolgenden Division bestätigt man leicht mit dem Distributivgesetz der Division:

      Kannst du den Wert des Quotienten aber auch über eine Polynomdivision berechnen?

    11. (x3+3x24x12):(x2)(x^3+3x^2-4x-12):(x-2)

    12. (4x+5x23+2x3):(2x+1)(-4x+5x^2-3+2x^3):(2x+1)

    13. (x4+4x3+2x3):(x+2)(x^4+4x^3+2x-3):(x+2)

  8. 8

    Zeige, dass die Polynomdivisionen dieser Aufgabengruppe nicht aufgehen. Gib für jede der zu den Polynomdivisionen gehörenden gebrochenrationalen Funktion deren asymptotisches Verhalten im Unendlichen an.

    1. (2x2x2):(x1)(2x^2-x-2):(x-1)

    2. (x2x):(x+1)(x^2-x):(x+1)

    3. (x32x2+1):(2x2+4x)(x^3-2x^2+1):(2x^2+4x)

  9. 9

    Vergleiche die Schritte der gewöhnlichen schriftlichen Division am Beispiel 2998:142998:14 mit der Polynomdivision (2x3+9x2+9x+8):(x+4)(2x^3+9x^2+9x+8):(x+4).

  10. 10
    Bild

    Tintenkleckse

    Was verbirgt sich dahinter?

    1. Bild
    2. Bild
    3. Bild
  11. 11

    Polynomdivisionen mit Parametern

    Führe die Polynomdivisionen durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

    1. (x3+(3a)x2+(23a)x2a):(x+2)(x^3+(3-a)x^2+(2-3a)x-2a):(x+2)

    2. (x3+x2+ex2ex+2x2e):(x2)(-x^3+x^2+\mathrm{ex}^2-\mathrm{ex}+2x-2e):(x-2)

  12. 12

    Ausgefallene Polynomdivisionen

    1. Berechne:

      (x4+3x2+1):(x21)(x^4+\sqrt{3}x^2+1):(x^2-1)

      

    2. Berechne:

      (2x4+x2x1):(x21):(x2+1)(2x^4+x^2-x-1):(x^2-1):(x^2+1)

    3. Berechne:

      (3x3+3x24x4):(3x2):(3x+2)(3x^3+3x^2-4x-4):(\sqrt{3}x-2):(\sqrt{3}x+2)

  13. 13

    Gegeben ist die Gleichung der Geraden   g:  y=x+3g:\;y=-x+3   

    und die Gleichung der ganzrationalen Funktion   f:  y=0,5x33x2+4,5xf:\;y=0{,}5x^3-3x^2+4{,}5x.

    Berechne die Schnittpunkte von GfG_f und GgG_g .

    Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.


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