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Aufgaben zur Polynomdivision

1

Vorübungen zur Polynomdivision - Potenzterme

Wende Potenzgesetze an und berechne.

  1. 4x5:x34x^5:x^3

  2. Klicke an was stimmt!

  3. (−x)3:x2(-x)^3:x^2

    Setze deine Lösung ein!


  4. (−x)2:2x(-x)^2:2x

    Klicke an was stimmt!

  5. 3x2⋅2x3−x6:x3x^2\cdot2x^3-x^6:x

  6. −4x5:(−x2)+x⋅(−2x2)-4x^5:(-x^2)+x\cdot(-2x^2)

2

Vorübungen zur Polynomdivision - Anwendung des Distributivgesetzes der Division

Berechne unter Anwendung des Distributivgesetzes der Division, falls dieses möglich ist.

  1. (28x−14):7(28x-14):7


  2. (28x⋅14):7(28x\cdot14):7


  3. (6x3−4x2+1):2(6x^3-4x^2+1):2

  4. (6x3−4x2+1):x(6x^3-4x^2+1):x

  5. (6x3−4x2+1):2x(6x^3-4x^2+1):2x

  6. (5x4−14x3+21x+2):7x3(5x^4-14x^3+21x+2):7x^3

  7. 28x:(28+14)28x:(28+14)

  8. 6x2:(2x+x)6x^2:(2x+x)

3

Vorübungen zur Polynomdivision - Ordnen von Polynomen

Bringe folgende Polynome in eine geordnete Form. Gib den Grad des Polynoms und seine Koeffizienten an.

  1. 1+2x+x2−4x31+2x+x^2-4x^3

  2. 2+5x−2x2+x+12+5x-2x^2+x+1

  3. −3+3x2−2x2+1-3+3x^2-2x^2+1

  4. 1−x41-x^4

  5. 2⋅(1−3x)−(5−x2−2x3)⋅32\cdot(1-3x)-(5-x^2-2x^3)\cdot3

  6. Klicke an, welcher Quotient die Polynomdivision

    in geordneter Form wiedergibt.

4

Vorübungen zur Polynomdivision - Subtraktion von Polynomen

Polynome subtrahiert man der besseren Übersichtlichkeit wegen oft spaltenweise.

Beispiel:

Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen

Berechne f(x)−g(x)f(x)-g(x).

f(x)−g(x)=(3x4−2x3+x2−1)−(2x4+x3−2x2+x)      =3x4−2x3+x2−1−2x4−x3+2x2−x=x4−3x3+3x2−x−1\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x)-g(x) &=(3x^4-2x^3+x^2-1)-(2x^4+x^3-2x^2+x)\\\;\;\;&=3x^4-2x^3+x^2-1-2x^4-x^3+2x^2-x\\ &=x^4-3x^3+3x^2-x-1\end{aligned}

Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man die beiden Polynome für f(x)f(x) und g(x)g(x) untereinander schreibt und darauf achtet, dass die Glieder mit gleichen Exponeten genau untereinander stehen.

  1. Weg

2.Weg

Wer lieber spaltenweise addiert, der bildet zuerst −g(x)\color{red}{-}g(x).

Bilde für folgende Aufgaben die Differenz f(x)−g(x)f(x)-g(x).

  1. f(x)=    x4−2x3+  x2−x+2g(x)=2x4+   x3−3x2−x−3\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=\;\;x^4-2x^3+\;x^2-x+2\\g(x) &=2x^4+\;\,x^3-3x^2-x-3 \end{aligned}

    Klicke an was stimmt!

  2. f(x)=3x3+x−1g(x)=x3+1\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} f(x) &=3x^3+x-1\\ g(x)&=x^3+1 \end{aligned}

    Klicke an was stimmt!

  3. f(x)=−x5+2x−1f(x)=-x^5+2x-1 und g(x)=−3x5+x2+2x−1g(x)=-3x^5+x^2+2x-1

    Klicke an was stimmt!

  4. f(x)=1−x3f(x)=1-x^3 und g(x)=x3+2x+xg(x)=x^3+2x+x

    Klicke an was stimmt!

  5. f(x)=2x2−1+x3+3x+2f(x)=2x^2-1+x^3+3x+2 und g(x)=3−x+x2g(x)=3-x+x^2

    Klicke an was stimmt.

  6. Das Polynom x3−1x^3-1 sei das Ergebnis der Polynomdifferenz f(x)−g(x)f(x)-g(x).

    Kreuze an was stimmt.

5

Wie sicher beherrscht du das Verfahren der Polynomdivision? Führe folgende Polynomdivisionen durch!

  1. (−2x3+3x2+2x−3):(−2x+3)(-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)

  2. (−2x3+3x2+2x−3):(x2−1)(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)

  3. (x4−x3−21x2+x+20):(x2+5x+4)(x^4-x^3-21x^2+x+20):(x^2+5x+4)

  4. (2x3+1−x2+x4):(x4−x2+2x3+1)(2x^3+1-x^2+x^4):(x^4-x^2+2x^3+1)

  5. (3x2+1):(2x3−1)(3x^2+1):(2x^3-1)

  6. (x5−x4+3x−3):(x−1)(x^5-x^4+3x-3):(x-1)

  7. (x3+1,5x2−0,5):(x−0,5)(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)

  8. (x2+1):(x−1)(x^2+1):(x-1)

  9. (4x5−x4):(2x2−x+1)(4x^5-x^4):(2x^2-x+1)

  10. Warum einfach, wenn's auch umständlich geht?

    Das Ergebnis der nachfolgenden Division bestätigt man leicht mit dem Distributivgesetz der Division:

    Kannst du den Wert des Quotienten aber auch über eine Polynomdivision berechnen?

  11. (x3+3x2−4x−12):(x−2)(x^3+3x^2-4x-12):(x-2)

  12. (−4x+5x2−3+2x3):(2x+1)(-4x+5x^2-3+2x^3):(2x+1)

  13. (x4+4x3+2x−3):(x+2)(x^4+4x^3+2x-3):(x+2)

6

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

  1. f(x)=x3−x2−4x+4f(x)=x^3-x^2-4x+4

  2. g(x)=x3+3x2−16x+12g(x)=x^3+3x^2-16x+12

  3. h(x)=3x4+12x3−33x2−90xh(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x

  4. i(x)=x3−7x−6i(x)=x^3-7x-6

7

Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

  1. (x3+2x2−x−2):(x−1)(x^3+2x^2-x-2):(x-1)

  2. (4x3−4x):(x+1)(4x^3-4x):(x+1)

  3. (23x3+2x2−83):(x+2)(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)

  4. (x4−8x2−9):(x−3)(x^4-8x^2-9):(x-3)

8

Zeige, dass die Polynomdivisionen dieser Aufgabengruppe nicht aufgehen. Gib für jede der zu den Polynomdivisionen gehörenden gebrochenrationalen Funktion deren asymptotisches Verhalten im Unendlichen an.

  1. (2x2−x−2):(x−1)(2x^2-x-2):(x-1)

  2. (x2−x):(x+1)(x^2-x):(x+1)

  3. (x3−2x2+1):(2x2+4x)(x^3-2x^2+1):(2x^2+4x)

9

Vergleiche die Schritte der gewöhnlichen schriftlichen Division am Beispiel 2998:142998:14 mit der Polynomdivision (2x3+9x2+9x+8):(x+4)(2x^3+9x^2+9x+8):(x+4).

strobl-f.de (Aufgabenstellung)
10

Tintenkleckse

Was verbirgt sich dahinter?

11

Polynomdivisionen mit Parametern

Führe die Polynomdivisionen durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

  1. (x3+(3−a)x2+(2−3a)x−2a):(x+2)(x^3+(3-a)x^2+(2-3a)x-2a):(x+2)

  2. (−x3+x2+ex2−ex+2x−2e):(x−2)(-x^3+x^2+\mathrm{ex}^2-\mathrm{ex}+2x-2e):(x-2)

12

Ausgefallene Polynomdivisionen

  1. Berechne:

    (x4+3x2+1):(x2−1)(x^4+\sqrt{3}x^2+1):(x^2-1)

  2. Berechne:

    (2x4+x2−x−1):(x2−1):(x2+1)(2x^4+x^2-x-1):(x^2-1):(x^2+1)

  3. Berechne:

    (3x3+3x2−4x−4):(3x−2):(3x+2)(3x^3+3x^2-4x-4):(\sqrt{3}x-2):(\sqrt{3}x+2)

13

Gegeben ist die Gleichung der Geraden   g:  y=−x+3g:\;y=-x+3   

und die Gleichung der ganzrationalen Funktion   f:  y=0,5x3−3x2+4,5xf:\;y=0{,}5x^3-3x^2+4{,}5x.

Berechne die Schnittpunkte von GfG_f und GgG_g .

Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.


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