Aufgaben zur Polynomdivision

Lerne die Polynomdivision mit diesen gemischten Übungsaufgaben. Schaffst du sie alle?

1
Vorübungen zur Polynomdivision - Potenzterme
Wende Potenzgesetze an und berechne.
1. $4 x^{5} : x^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  Benutze das Potenzgesetz $a^m:a^n=a^{m-n}$
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2. Klicke an was stimmt!
  $-0{,}25x^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  Beachte: $(a\cdot x^m):(b\cdot x^n)=(a:b)\cdot x^{m-n}$
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3. $(- x)^{3} : x^{2}$
  Setze deine Lösung ein!
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  Beachte: $(- 1)^{3} = - 1$
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4. $(- x)^{2} : 2 x$
  Klicke an was stimmt!
  $0, 5 x$
  $- 0, 5 x$
  2x
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  $(-x)^2:2x=x^2:2x=(1:2)\cdot x^2:x=0{,}5x$
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5. $3x^2\cdot2x^3-x^6:x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  Potenzgesetz für die Multiplikation und für die Division anwenden.
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6. $-4x^5:(-x^2)+x\cdot(-2x^2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
  Potenzgesetz für die Multiplikation und für die Division beachten.
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2
Vorübungen zur Polynomdivision - Anwendung des Distributivgesetzes der Division
Berechne unter Anwendung des Distributivgesetzes der Division, falls dieses möglich ist.
1. $(28 x - 14) : 7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  $(28 x - 14) : 7 = 28 x : 7 - 14 : 7 = 4 x - 2$
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2. $(28x\cdot14):7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
  Die Klammer enthält keine Summe sondern ein Produkt.
  Also: entweder 28 wird durch 7 geteilt oder 14. Aber nicht beide Zahlen.
  $(28x\cdot14):7= 28x\cdot(14:7)=28x :2=56x$
  oder so gerechnet:
  $(28x\cdot14):7=(28:7)x\cdot14=4x\cdot 14=56x$
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3. $(6 x^{3} - 4 x^{2} + 1) : 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  $(6x^3-4x^2+1):2=3x^3-2x^2+0{,}5$
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4. $(6 x^{3} - 4 x^{2} + 1) : x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  $(6x^3-4x^2+1):x=6x^2-4x+\displaystyle \frac{1}{x}$
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5. $(6 x^{3} - 4 x^{2} + 1) : 2 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  Hier kannst du das Distributivgesetz der Division anwenden. Daraus folgt:
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6. $(5 x^{4} - 14 x^{3} + 21 x + 2) : 7 x^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  Hier kannst du das Distributivgesetz der Division anwenden. Damit folgt:
  $(5x^4-14x^3+21x+2):7x^3=\displaystyle \frac{5}{7}x-2+\displaystyle \frac{3}{x^2}+ \displaystyle \frac{2}{7x^3}$
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7. $28 x : (28 + 14)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
  Es gibt kein Rechengesetz der Form:
  $28x:(28+14)\ne28x:28+28x:14=x+2x=3x$
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8. $6 x^{2} : (2 x + x)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
  Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
  Es gibt kein Rechengesetz der Form:
  $6x^2:(2x+x)\neq6x^2:2x+6x^2:x=3x+6x=9x$
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3
Vorübungen zur Polynomdivision - Ordnen von Polynomen
Bringe folgende Polynome in eine geordnete Form. Gib den Grad des Polynoms und seine Koeffizienten an.
1. $1 + 2 x + x^{2} - 4 x^{3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form
  Polynom aus der Aufgabenstellung:
  geordnet:
  Grad des Polynoms: 3
  Koeffizienten:
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2. $2 + 5 x - 2 x^{2} + x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form
  Polynom aus der Aufgabenstellung:
  zusammengefasst und geordnet:
  Grad des Polynoms: 2
  Koeffizienten:
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3. $- 3 + 3 x^{2} - 2 x^{2} + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form
  Polynom aus der Aufgabenstellung:
  zusammengefasst und geordnet:
  Grad des Polynoms: 2
  Koeffizienten:
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4. $1 - x^{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form
  Polynom aus der Aufgabenstellung:
  geordnet:
  Grad des Polynoms: 4
  Koeffizienten:
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5. $2\cdot(1-3x)-(5-x^2-2x^3)\cdot3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form $a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1}+ … +a_1\cdot x + a_0$ .
  Ausmultiplizieren, zusammenfassen und ordnen.
  Grad des Polynoms: 3
  Koeffizienten:
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6. Klicke an, welcher Quotient die Polynomdivision
  in geordneter Form wiedergibt.
  $(x^{4} + 1) : (- x^{2} + 3 x + 1)$
  $(x^{4} + 1) : (3 x - x^{2} + 1)$
  $(1 + x^{4}) : (- x^{2} + 3 x + 1)$
  $(- x^{2} + 3 x + 1) : (x^{4} + 1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Ein Polynom ist ein Term der Form
  Polynomdivision aus der Aufgabenstellung:
  Polynom des Dividenden nach fallenden Exponeten ordnen:
  Im Divisorpolynom die linearen Glieder addieren und als quadratisches Polynom ordnen:
  Der geordnete Quotient der Polynomdivision lautet:
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4
Vorübungen zur Polynomdivision - Subtraktion von Polynomen
Polynome subtrahiert man der besseren Übersichtlichkeit wegen oft spaltenweise.
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen
Berechne $f (x) - g (x)$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x)-g(x) &=(3x^4-2x^3+x^2-1)-(2x^4+x^3-2x^2+x)\\\;\;\;&=3x^4-2x^3+x^2-1-2x^4-x^3+2x^2-x\\ &=x^4-3x^3+3x^2-x-1\end{aligned}$
Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man die beiden Polynome für $f (x)$ und $g (x)$ untereinander schreibt und darauf achtet, dass die Glieder mit gleichen Exponeten genau untereinander stehen.
Weg
2.Weg
Wer lieber spaltenweise addiert, der bildet zuerst $\color{red}{-}g(x)$ .
Bilde für folgende Aufgaben die Differenz $f (x) - g (x)$ .
1. $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=\;\;x^4-2x^3+\;x^2-x+2\\g(x) &=2x^4+\;\,x^3-3x^2-x-3 \end{aligned}$
  Klicke an was stimmt!
  $- x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5$
  $3 x^{4} - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 1$
  $- x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=x^4-2x^3+x^2-x+2\\g(x) &=2x^4+x^3-3x^2-x-3\end{aligned}$
  Bilde $\color{red}{-}g(x)$ und addiere dann $f (x)$ und $\color{red}{-}g(x)$ spaltenweise.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=\quad \,x^4-2x^3+\;\;\;x^2-x+2\\\color{red}{-}g(x) &=\underline{\color{red}{-}2x^4\,\color{red}{-}\;x^3\;\color{red}{+}3x^2\;\color{red}{+}x\color{red}{+}3}\\f(x)-g(x) &=\;\;-x^4-3x^3+4x^2\quad\quad+5\end{aligned}$
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2. $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} f(x) &=3x^3+x-1\\ g(x)&=x^3+1 \end{aligned}$
  Klicke an was stimmt!
  $2 x^{3} + x - 2$
  $2 x^{3} + x$
  $4 x^{3} + x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $f (x)$ und $- g (x)$ spaltenweise addieren!
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=\;3x^3+x-1\\\color{red}{-}g(x) &= \underline{\color{red}{-}x^3 \quad\;\;\color{red}{-}1}\\f(x)-g(x) &=\,2x^3+x-2\end{aligned}$
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3. $f (x) = - x^{5} + 2 x - 1$ und $g (x) = - 3 x^{5} + x^{2} + 2 x - 1$
  Klicke an was stimmt!
  $2 x^{5} - x^{2}$
  $- 4 x^{5} + x^{2} + 4 x - 2$
  $- 4 x^{5} - x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $f (x)$ und $- g (x)$ spaltenweise addieren!
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=\;\;-x^5\quad\quad+2x-1\\\color{red}{-}g(x) &= \underline{\color{red}{+}3x^5 \color{red}{-}x^2 \;\color{red}{-}2x \color{red}{+}1}\\f(x)-g(x) &=\;2x^5\;-x^2\end{aligned}$
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4. $f (x) = 1 - x^{3}$ und $g (x) = x^{3} + 2 x + x$
  Klicke an was stimmt!
  $- 2 x^{3} - 3 x + 1$
  $2 x^{3} + 3 x - 1$
  $- 2 x^{3} + 3 x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Die Polynome sind noch nicht geordnet ( $f (x))$ bzw. zusammengefasst ( $g (x)$ ).
  $f (x) = 1 - x^{3}$ noch nicht geordnet:
  Geordnet: $f (x) = - x^{3} + 1$
  $g (x) = x^{3} + 2 x + x$ noch nicht zusammengefasst:
  Zusammengefasst: $\color{red}{-}g(x)=\color{red}{-}x^3\color{red}{-}3x$
  Addiere die geordneten und zusammengefassten Poynome spaltenweise.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=-x^3\quad\quad+1\\\color{red}{-}g(x) &=\underline{-x^3\;-3x\quad\quad}\\f(x)-g(x) &=-2x^3-3x+1\end{aligned}$
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5. $f (x) = 2 x^{2} - 1 + x^{3} + 3 x + 2$ und $g (x) = 3 - x + x^{2}$
  Klicke an was stimmt.
  $x^{3} + x^{2} + 4 x - 2$
  $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 4$
  $x^{3} + x^{2} + 2 x - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=2x^2-1+x^3+3x+2\\g(x) &=3-x+x^2 \end{aligned}$
  In den Polynomen zusammenfassen und ordnen. Dazu $- g (x)$ bilden.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}f(x) &=x^3+2x^2+3x+1\\\color{red}{-}g(x) &= \underline{\quad\;\;-x^2\;+\,x-\,3}\\f(x)-g(x) &= x^3+\; x^2\;+4x-2\end{aligned}$
  spaltenweise addieren
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6. Das Polynom $x^{3} - 1$ sei das Ergebnis der Polynomdifferenz $f (x) - g (x)$ .
  Kreuze an was stimmt.
  Dann kennt man auch das Ergebnis von $g (x) - f (x)$ .
  Dann kennt man auch das Ergebnis von $f (x) + g (x)$ .
  Dann kennt man weder das Ergebnis von $f (x) + g (x)$ noch das Ergebnis von $g (x) - f (x)$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  Stets kann man aus $f (x) - g (x)$ auch $g (x) - f (x)$ erschließen, da immer gilt:
  Also ist hier:
  $f (x) + g (x)$ kann man aus $f (x) - g (x)$ nur im Sonderfall, dass $g (x)$ das Nullpolynom $g (x) = 0$ ist erschließen. Dann ist $f (x) + g (x) = f (x) - g (x)$ .
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Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

$(x^{3} + 2 x^{2} - x - 2) : (x - 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^3+2x^2-x-2):(x-1)=x^2+3x+2\\\underline{-(x^3-1x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2-x\\\;\;\;\;\;\underline{-(3x^2-3x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x-2)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Neue Funktion : $f\left(x\right)=x^2+3x+2$

Verbleibende Nullstellen berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$
	↓	Gleich $0$ setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}$
	↓	Wurzelziehen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm1}{2}$

$x_2=\dfrac{-3+1}2=\dfrac{-2}2=-1$

$x_3=\dfrac{-3-1}2=\dfrac{-4}2=-2$

Faktorisierung

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = (x - 1) (x + 1) (x + 2)$ ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.

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$(4 x^{3} - 4 x) : (x + 1)$

$(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\;\;(\dfrac23x^3+2x^2-\dfrac83):(x+2)=\dfrac23x^2+\dfrac23x-\dfrac43\\\underline{-(\dfrac23x^3+\dfrac43x^2)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac23x^2-\dfrac83\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(\dfrac23x^2+\dfrac43x)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\dfrac43x-\dfrac83\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-\dfrac43x-\dfrac83)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Nullstellenberechnung

$\displaystyle \dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{3}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)}}{\dfrac{4}{3}}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{3}\pm\sqrt{\dfrac{36}{9}}}{\dfrac{4}{3}}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{3}\pm\dfrac{6}{3}}{\dfrac{4}{3}}$

$x_{2} = 1$

$x_{3} = - 2$

$\dfrac23x^3+2x^2-\dfrac83=\dfrac23(x+2)^2(x-1)$ ist die Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktorzerlegung des Terms. Dieser hat für $x = - 2$ eine doppelte Nullstelle.

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$(x^{4} - 8 x^{2} - 9) : (x - 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^4-8x^2-9):(x-3)=x^3+3x^2+x+3\\\underline{-(x^4-3x^3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^3-8x^2\\\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^3-9x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-3x)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-9)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
$\Rightarrow$ Neue Funktion: $f\left(x\right)=x^3+3x^2+x+3$
Als ganzzahlige Nullstellen des Terms $x^{3} + 3 x^{2} + x + 3$ kommen nur die Teiler des konstanten Gliedes $3$ in Frage.
Also die vier Zahlen: $\pm1,\pm3$ .
Einsetzen ergibt $f (- 3) = - 28 + 27 - 3 + 3 = 0$ . Daneben erhält man: $f(\pm1) \neq0$ und $f(+3) \neq0$ .
$x = - 3$ ist also die einzige ganzzahlige Nullstelle.
Somit muss die Polynomdivision $f (x) : (x + 3)$ aufgehen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^3+3x^2+x+3):(x+3)=x^2+1\\\underline{-(x^3+3x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x+3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x+3)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
$\Rightarrow$ Neue Funktion: $f\left(x\right)=x^2+1$
Verbleibende Nullstellen berechnen
$\displaystyle x^2+1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2$ $=$ $\displaystyle -1$
$\Rightarrow$ keine weiteren Nullstellen , da nicht lösbar in $\mathbb{R}$ .
Für den ursprünglichen Funktionsterm $x^{4} - 8 x^{2} - 9$ erhält man somit die folgende Faktorisierung mit zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor.
$x^{4} - 8 x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3) (x^{2} + 1)$
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Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.

$f(1)=1^3-1^2-4\cdot1+4=0$

Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $f (1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x - 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;\;\;(x^3-x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0-4x+4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x+4)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $f (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 2$ .

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$g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $g (x)$ ein.

$g(1)=1^3+3\cdot1^2-16\cdot1+12=0$

Die Funktion $g (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $g (1) = 0$ , wissen wir, dass $g (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $g (x) : (x - 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}{-}\;\;(x^3+3x^2-16x+12):(x-1)=x^2+4x-12\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x^2-16x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x^2-4x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-12x+12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-12x+12)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $g (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $g$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2+4x-12$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot\left(-12\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm8}{2}$

$x_2=\dfrac{4}{2}=2$

$x_3=\dfrac{-12}{2}=-6$

Fall 1: $+$

Fall 2: $-$

Die Funktion $g (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 6$ .

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$h (x) = 3 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 90 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4+12x^3-33x^2-90x$
	↓	$3 x$ ausklammern.
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x\cdot\left(x^3+4x^2-11x-30\right)$

$\Rightarrow x_1=0$

Die Funktion $h (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 0$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $h$ bestimmen, indem du die Klammer gleich $0$ setzt.

$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30 = 0$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $- 2$ für $x$ ein.

$(-2)^3+4\cdot(-2)^2-11\cdot(-2)-30=-8+16+22-30=0$

Die Funktion $h (x)$ hat an der Stelle $x_{2} = - 2$ eine Nullstelle. Da $h (- 2) = 0$ , wissen wir, dass $h (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 2)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $(x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30) : (x + 2)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (x^3+4x^2-11x-30):(x+2)=x^2+2x-15 \\-\underline{(x^3+ 2x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}2x^2-11x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(2x^2+4x)}\\\phantom{- (x^3+3x^2-}-15x-30\\\phantom{(x3+3x^2}-\underline{(-15x-30)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x- 12}0\end{array}$

Setze das erhaltene Polynom gleich $0$ .

$\displaystyle x^2+2x-15$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot\left(-15\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{2}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm8}{2}$

Fall 1: $+$

$x_3=\dfrac{6}{2}=3$

Fall 2: $-$

$x_4=\dfrac{-10}{2}=-5$

Die Funktion $h (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 3$ und $x_{4} = - 5$ .

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$i (x) = x^{3} - 7 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle i\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3-7x-6$
	↓	Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $i (x)$ ein.
$\displaystyle i\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle 1^3-7\cdot1-6$
$\displaystyle i\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle -12$

$i(1)\neq0$

Setze z.B. $- 1$ in $i (x)$ ein.

$i(-1)=(-1)^3-7\cdot(-1)-6=0$

Die Funktion $i (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $i (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $i (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $i (x) : (x + 1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}{-}\;\;(x^3+0x^2-7x-6):(x+1)=x^2-x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x^2-7x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-x^2-x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $i (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $i$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2-x-6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-6\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm5}{2}$

$x_2=\dfrac62=3$

$x_3=\dfrac{-4}{2}=-2$

Fall 1: $+$

Fall 2: $-$

Die Funktion $i (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$ und $x_{3} = - 2$ .

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7
Wie sicher beherrscht du das Verfahren der Polynomdivision? Führe folgende Polynomdivisionen durch!
1. $(- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x - 3) : (- 2 x + 3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-} (-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)=x^2-1\\\color{red}{-(}\underline{-2x^3+3x^2}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x}0\;\;\;+\;0 \;\; +2x-3\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+}\,\color{red}{-(}\underline{2x-3}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+2x-3}0\end{array}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x$
	↓	Gleich $0$ setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x+0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot4\cdot0}}{2\cdot4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm\sqrt{16}}{8}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm4}{8}$

$\displaystyle x^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle -1$