Aufgaben zur Polynomdivision
Lerne die Polynomdivision mit diesen gemischten Ãœbungsaufgaben. Schaffst du sie alle?
- 1
Vorübungen zur Polynomdivision - Potenzterme
Wende Potenzgesetze an und berechne.
4x5:x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Benutze das Potenzgesetz am:an=am−n
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Klicke an was stimmt!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Beachte: (a⋅xm):(b⋅xn)=(a:b)⋅xm−n
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(−x)3:x2
Setze deine Lösung ein!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Beachte: (−1)3=−1
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(−x)2:2x
Klicke an was stimmt!
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
(−x)2:2x=x2:2x=(1:2)⋅x2:x=0,5x
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3x2⋅2x3−x6:x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Potenzgesetz für die Multiplikation und für die Division anwenden.
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−4x5:(−x2)+x⋅(−2x2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
Potenzgesetz für die Multiplikation und für die Division beachten.
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- 2
Vorübungen zur Polynomdivision - Anwendung des Distributivgesetzes der Division
Berechne unter Anwendung des Distributivgesetzes der Division, falls dieses möglich ist.
(28x−14):7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
(28x−14):7=28x:7−14:7=4x−2
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(28xâ‹…14):7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
Die Klammer enthält keine Summe sondern ein Produkt.
Also: entweder 28 wird durch 7 geteilt oder 14. Aber nicht beide Zahlen.
(28xâ‹…14):7=28xâ‹…(14:7)=28x:2=56x
oder so gerechnet:
(28xâ‹…14):7=(28:7)xâ‹…14=4xâ‹…14=56x
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(6x3−4x2+1):2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
(6x3−4x2+1):2=3x3−2x2+0,5
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(6x3−4x2+1):x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
(6x3−4x2+1):x=6x2−4x+x1​
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(6x3−4x2+1):2x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Hier kannst du das Distributivgesetz der Division anwenden. Daraus folgt:
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(5x4−14x3+21x+2):7x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Hier kannst du das Distributivgesetz der Division anwenden. Damit folgt:
(5x4−14x3+21x+2):7x3=75​x−2+x23​+7x32​
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28x:(28+14)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
Es gibt kein Rechengesetz der Form:
28x:(28+14)î€ =28x:28+28x:14=x+2x=3x
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6x2:(2x+x)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Distributivgesetz
Hier kannst du das Distributivgesetz nicht anwenden.
Es gibt kein Rechengesetz der Form:
6x2:(2x+x)î€ =6x2:2x+6x2:x=3x+6x=9x
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- 3
Vorübungen zur Polynomdivision - Ordnen von Polynomen
Bringe folgende Polynome in eine geordnete Form. Gib den Grad des Polynoms und seine Koeffizienten an.
1+2x+x2−4x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
Polynom aus der Aufgabenstellung:
geordnet:
Grad des Polynoms: 3
Koeffizienten:
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2+5x−2x2+x+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
Polynom aus der Aufgabenstellung:
zusammengefasst und geordnet:
Grad des Polynoms: 2
Koeffizienten:
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−3+3x2−2x2+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
Polynom aus der Aufgabenstellung:
zusammengefasst und geordnet:
Grad des Polynoms: 2
Koeffizienten:
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2⋅(1−3x)−(5−x2−2x3)⋅3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form an​⋅xn+an−1​⋅xn−1+…+a1​⋅x+a0​ .
Ausmultiplizieren, zusammenfassen und ordnen.
Grad des Polynoms: 3
Koeffizienten:
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Klicke an, welcher Quotient die Polynomdivision
in geordneter Form wiedergibt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Ein Polynom ist ein Term der Form
Polynomdivision aus der Aufgabenstellung:
Polynom des Dividenden nach fallenden Exponeten ordnen:
Im Divisorpolynom die linearen Glieder addieren und als quadratisches Polynom ordnen:
Der geordnete Quotient der Polynomdivision lautet:
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- 4
Vorübungen zur Polynomdivision - Subtraktion von Polynomen
Polynome subtrahiert man der besseren Ãœbersichtlichkeit wegen oft spaltenweise.
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen
Berechne f(x)−g(x).
f(x)−g(x)​=(3x4−2x3+x2−1)−(2x4+x3−2x2+x)=3x4−2x3+x2−1−2x4−x3+2x2−x=x4−3x3+3x2−x−1​
Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man die beiden Polynome für f(x) und g(x) untereinander schreibt und darauf achtet, dass die Glieder mit gleichen Exponeten genau untereinander stehen.
Weg
2.Weg
Wer lieber spaltenweise addiert, der bildet zuerst −g(x).
Bilde für folgende Aufgaben die Differenz f(x)−g(x).
f(x)g(x)​=x4−2x3+x2−x+2=2x4+x3−3x2−x−3​
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
f(x)g(x)​=x4−2x3+x2−x+2=2x4+x3−3x2−x−3​
Bilde −g(x) und addiere dann f(x) und −g(x) spaltenweise.
f(x)−g(x)f(x)−g(x)​=x4−2x3+x2−x+2=−2x4−x3+3x2+x+3​=−x4−3x3+4x2+5​
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f(x)g(x)​=3x3+x−1=x3+1​
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
f(x) und −g(x) spaltenweise addieren!
f(x)−g(x)f(x)−g(x)​=3x3+x−1=−x3−1​=2x3+x−2​
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f(x)=−x5+2x−1 und g(x)=−3x5+x2+2x−1
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
f(x) und −g(x) spaltenweise addieren!
f(x)−g(x)f(x)−g(x)​=−x5+2x−1=+3x5−x2−2x+1​=2x5−x2​
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f(x)=1−x3 und g(x)=x3+2x+x
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Die Polynome sind noch nicht geordnet (f(x)) bzw. zusammengefasst (g(x)).
f(x)=1−x3 noch nicht geordnet:
Geordnet: f(x)=−x3+1
g(x)=x3+2x+x noch nicht zusammengefasst:
Zusammengefasst: −g(x)=−x3−3x
Addiere die geordneten und zusammengefassten Poynome spaltenweise.
f(x)−g(x)f(x)−g(x)​=−x3+1=−x3−3x​=−2x3−3x+1​
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f(x)=2x2−1+x3+3x+2 und g(x)=3−x+x2
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
f(x)g(x)​=2x2−1+x3+3x+2=3−x+x2​
In den Polynomen zusammenfassen und ordnen. Dazu −g(x) bilden.
f(x)−g(x)f(x)−g(x)​=x3+2x2+3x+1=−x2+x−3​=x3+x2+4x−2​
spaltenweise addieren
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Das Polynom x3−1 sei das Ergebnis der Polynomdifferenz f(x)−g(x).
Kreuze an was stimmt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Stets kann man aus f(x)−g(x) auch g(x)−f(x) erschließen, da immer gilt:
Also ist hier:
f(x)+g(x) kann man aus f(x)−g(x) nur im Sonderfall, dass g(x) das Nullpolynom g(x)=0 ist erschließen. Dann ist f(x)+g(x)=f(x)−g(x).
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- 5
Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.
(x3+2x2−x−2):(x−1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
(x3+2x2−x−2):(x−1)=x2+3x+2−(x3−1x2)​3x2−x−(3x2−3x)​2x−2−(2x−2)​0​
⇒ Neue Funktion : f(x)=x2+3x+2
f(x) = x2+3x+2 ↓ Gleich 0 setzen.
0 = x2+3x+2 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x2,3​ = 2⋅1−3±32−4⋅1⋅2​​ ↓ Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
= 2−3±9−8​​ ↓ = 2−3±1​ x2​=2−3+1​=2−2​=−1
x3​=2−3−1​=2−4​=−2
x3+2x2−x−2=(x−1)(x+1)(x+2) ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.
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(4x3−4x):(x+1)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
(4x3−4x):(x+1)=4x2−4x−(4x3+4x2)​−4x2−4x−(−4x2−4x)​0​
⇒ Neue Funktion: f(x)=4x2−4x
f(x) = 4x2−4x ↓ Gleich 0 setzen.
0 = 4x2−4x+0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x2,3​ = 2⋅44±(−4)2−4⋅4⋅0​​ = 84±16​​ = 84±4​ x2​=84+4​=88​=1
x3​=84−4​=80​=0
4x3−4x=4x(x+1)(x−1) ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.
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(32​x3+2x2−38​):(x+2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
(32​x3+2x2−38​):(x+2)=32​x2+32​x−34​−(32​x3+34​x2)​32​x2−38​−(32​x2+34​x)​−34​x−38​−(−34​x−38​)​0​
32​x2+32​x−34​ = 0 x2,3​ = 34​−32​±(32​)2−4⋅(32​)⋅(−34​)​​ x2,3​ = 34​−32​±936​​​ x2,3​ = 34​−32​±36​​ x2​=1
x3​=−2
32​x3+2x2−38​=32​(x+2)2(x−1) ist die Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktorzerlegung des Terms. Dieser hat für x=−2 eine doppelte Nullstelle.
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(x4−8x2−9):(x−3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
(x4−8x2−9):(x−3)=x3+3x2+x+3−(x4−3x3)​3x3−8x2−(3x3−9x2)​x2−9−(x2−3x)​3x−9−(3x−9)​0​
⇒ Neue Funktion: f(x)=x3+3x2+x+3
Als ganzzahlige Nullstellen des Terms x3+3x2+x+3 kommen nur die Teiler des konstanten Gliedes 3 in Frage.
Also die vier Zahlen: ±1,±3.
Einsetzen ergibt f(−3)=−28+27−3+3=0. Daneben erhält man: f(±1)î€ =0 und f(+3)î€ =0.
x=−3 ist also die einzige ganzzahlige Nullstelle.
Somit muss die Polynomdivision f(x):(x+3) aufgehen.
(x3+3x2+x+3):(x+3)=x2+1−(x3+3x2)​x+3−(x+3)​0​
⇒ Neue Funktion: f(x)=x2+1
x2+1 = 0 −1 x2 = −1 ⇒ keine weiteren Nullstellen , da nicht lösbar in R .
Für den ursprünglichen Funktionsterm x4−8x2−9 erhält man somit die folgende Faktorisierung mit zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor.
x4−8x2−9=(x−3)(x+3)(x2+1)
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- 6
Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.
f(x)=x3−x2−4x+4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
f(x)=x3−x2−4x+4
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. 1 in f(x) ein.
f(1)=13−12−4⋅1+4=0
Die Funktion f(x) hat an der Stelle x1​=1 eine Nullstelle. Da f(1)=0, wissen wir, dass f(x) den dazugehörigen Linearfaktor (x−1) besitzt.
Führe nun die Polynomdivision f(x):(x−1) durch.
(x3−x2−4x+4):(x−1)=x2−4−(x3−x2)​0−4x+4−(−4x+4)​0​
Die Funktion f(x) wird dann 0, sobald mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Da die Nullstelle x1​=1 bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von f bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich 0 setzt.
x2−4 = 0 +4 x2 = 4 ↓ x2,3​ = ±4​ = ±2 Die Funktion f(x) hat drei Nullstellen bei x1​=1, x2​=2 und x3​=−2.
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g(x)=x3+3x2−16x+12
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
g(x)=x3+3x2−16x+12
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. 1 in g(x) ein.
g(1)=13+3⋅12−16⋅1+12=0
Die Funktion g(x) hat an der Stelle x1​=1 eine Nullstelle. Da g(1)=0, wissen wir, dass g(x) den dazugehörigen Linearfaktor (x−1) besitzt.
Führe nun die Polynomdivision g(x):(x−1) durch.
−(x3+3x2−16x+12):(x−1)=x2+4x−12−(x3−x2)​4x2−16x−(4x2−4x)​−12x+12−(−12x+12)​0​
Die Funktion g(x) wird dann 0, sobald mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Da die Nullstelle x1​=1 bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von g bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich 0 setzt.
x2+4x−12 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x2,3​ = 2⋅1−4±42−4⋅1⋅(−12)​​ ↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
x2,3​ = 2−4±64​​ = 2−4±8​ x2​=24​=2
x3​=2−12​=−6
Fall 1: +
Fall 2: −
Die Funktion g(x) hat drei Nullstellen bei x1​=1, x2​=2 und x3​=−6.
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h(x)=3x4+12x3−33x2−90x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
h(x) = 3x4+12x3−33x2−90x ↓ 3x ausklammern.
h(x) = 3x⋅(x3+4x2−11x−30) ⇒x1​=0
Die Funktion h(x) wird dann 0, sobald mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Da die Nullstelle x1​=0 bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von h bestimmen, indem du die Klammer gleich 0 setzt.
x3+4x2−11x−30=0
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. −2 für x ein.
(−2)3+4⋅(−2)2−11⋅(−2)−30=−8+16+22−30=0
Die Funktion h(x) hat an der Stelle x2​=−2 eine Nullstelle. Da h(−2)=0, wissen wir, dass h(x) den dazugehörigen Linearfaktor (x+2) besitzt.
Führe nun die Polynomdivision (x3+4x2−11x−30):(x+2) durch.
− (x3+4x2−11x−30):(x+2)=x2+2x−15−(x3+2x2)​−(x3−12x2−11x(x3+−(2x2+4x)​−(x3+3x2−−15x−30(x3+3x2−(−15x−30)​−(x3+3x2−4x−120​
Setze das erhaltene Polynom gleich 0.
x2+2x−15 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x3,4​ = 2⋅1−2±22−4⋅1⋅(−15)​​ ↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
x3,4​ = 2−2±64​​ x3,4​ = 2−2±8​ Fall 1: +
x3​=26​=3
Fall 2: −
x4​=2−10​=−5
Die Funktion h(x) hat vier Nullstellen bei x1​=0, x2​=−2, x3​=3 und x4​=−5.
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i(x)=x3−7x−6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion f sind die x-Werte, für die f(x)=0 wird.
i(x) = x3−7x−6 ↓ Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. 1 in i(x) ein.
i(1) = 13−7â‹…1−6 i(1) = −12 i(1)î€ =0
Setze z.B. −1 in i(x) ein.
i(−1)=(−1)3−7⋅(−1)−6=0
Die Funktion i(x) hat an der Stelle x1​=−1 eine Nullstelle. Da i(−1)=0, wissen wir, dass i(x) den dazugehörigen Linearfaktor (x+1) besitzt.
Führe nun die Polynomdivision i(x):(x+1) durch.
−(x3+0x2−7x−6):(x+1)=x2−x−6−(x3+x2)​−x2−7x−(−x2−x)​−6x−6−(−6x−6)​0​
Die Funktion i(x) wird dann 0, sobald mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Da die Nullstelle x1​=−1 bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von i bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich 0 setzt.
x2−x−6 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x2,3​ = 2⋅11±(−1)2−4⋅1⋅(−6)​​ ↓ Unter der Wurzel zusammenfassen.
x2,3​ = 21±25​​ x2,3​ = 21±5​ x2​=26​=3
x3​=2−4​=−2
Fall 1: +
Fall 2: −
Die Funktion i(x) hat drei Nullstellen bei x1​=−1, x2​=3 und x3​=−2.
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- 7
Wie sicher beherrscht du das Verfahren der Polynomdivision? Führe folgende Polynomdivisionen durch!
(−2x3+3x2+2x−3):(−2x+3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
−(−2x3+3x2+2xâ