Aufgaben zur Polynomdivision - lernen mit Serlo!

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

$f(x)=x^3-x^2-4x+4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$f(x)=x^3-x^2-4x+4$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f(x)$ ein.

$f(1)=1^3-1^2-4\cdot1+4=0$

Die Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_1=1$ eine Nullstelle. Da $f(1)=0$ , wissen wir, dass $f(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x-1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f(x):(x-1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;\;\;(x^3-x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0-4x+4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x+4)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $f(x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $f(x)$ hat drei Nullstellen bei $x_1=1$ , $x_2=2$ und $x_3=-2$ .

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$g(x)=x^3+3x^2-16x+12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$g(x)=x^3+3x^2−16x+12$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $g(x)$ ein.

$g(1)=1^3+3\cdot1^2-16\cdot1+12=0$

Die Funktion $g(x)$ hat an der Stelle $x_1=1$ eine Nullstelle. Da $g(1)=0$ , wissen wir, dass $g(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x-1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $g(x):(x-1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}{-}\;\;(x^3+3x^2-16x+12):(x-1)=x^2+4x-12\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x^2-16x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x^2-4x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-12x+12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-12x+12)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $g(x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $g$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2+4x-12$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot\left(-12\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm8}{2}$

$x_2=\dfrac{4}{2}=2$

$x_3=\dfrac{-12}{2}=-6$

Fall 1: $+$

Fall 2: $-$

Die Funktion $g(x)$ hat drei Nullstellen bei $x_1=1$ , $x_2=2$ und $x_3=-6$ .

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$h(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4+12x^3-33x^2-90x$
	↓	$3x$ ausklammern.
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x\cdot\left(x^3+4x^2-11x-30\right)$

$\Rightarrow x_1=0$

Die Funktion $h(x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=0$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $h$ bestimmen, indem du die Klammer gleich $0$ setzt.

$x^3+4x^2-11x-30=0$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $-2$ für $x$ ein.

$(-2)^3+4\cdot(-2)^2-11\cdot(-2)-30=-8+16+22-30=0$

Die Funktion $h(x)$ hat an der Stelle $x_2=-2$ eine Nullstelle. Da $h(-2)=0$ , wissen wir, dass $h(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x+2)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $(x^3+4x^2-11x-30):(x+2)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (x^3+4x^2-11x-30):(x+2)=x^2+2x-15 \\-\underline{(x^3+ 2x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}2x^2-11x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(2x^2+4x)}\\\phantom{- (x^3+3x^2-}-15x-30\\\phantom{(x3+3x^2}-\underline{(-15x-30)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x- 12}0\end{array}$

Setze das erhaltene Polynom gleich $0$ .

$\displaystyle x^2+2x-15$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot\left(-15\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{2}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm8}{2}$

Fall 1: $+$

$x_3=\dfrac{6}{2}=3$

Fall 2: $-$

$x_4=\dfrac{-10}{2}=-5$

Die Funktion $h(x)$ hat vier Nullstellen bei $x_1=0$ , $x_2=-2$ , $x_3=3$ und $x_4=-5$ .

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$i(x)=x^3-7x-6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle i\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^3-7x-6$
	↓	Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $i(x)$ ein.
$\displaystyle i\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle 1^3-7\cdot1-6$
$\displaystyle i\left(1\right)$	$=$	$\displaystyle -12$

$i(1)\neq0$

Setze z.B. $-1$ in $i(x)$ ein.

$i(-1)=(-1)^3-7\cdot(-1)-6=0$

Die Funktion $i(x)$ hat an der Stelle $x_1=-1$ eine Nullstelle. Da $i(-1)=0$ , wissen wir, dass $i(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x+1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $i(x):(x+1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}{-}\;\;(x^3+0x^2-7x-6):(x+1)=x^2-x-6\\\underline{-(x^3+x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x^2-7x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-x^2-x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x-6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-6x-6)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $i(x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=-1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $i$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2-x-6$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-6\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1\pm5}{2}$

$x_2=\dfrac62=3$

$x_3=\dfrac{-4}{2}=-2$

Fall 1: $+$

Fall 2: $-$

Die Funktion $i(x)$ hat drei Nullstellen bei $x_1=-1$ , $x_2=3$ und $x_3=-2$ .

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