Aufgaben zur Polynomdivision - lernen mit Serlo!

Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$f (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f (x)$ ein.
$f (1) = 1^{3} - 1^{2} - 4 \cdot 1 + 4 = 0$
Die Funktion $f (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $f (1) = 0$ , wissen wir, dass $f (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $f (x) : (x - 1)$ durch.
$\begin{matrix} (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) : (x - 1) = x^{2} - 4 \\ - (x^{3} - x^{2}) \\ 0 - 4 x + 4 \\ - (- 4 x + 4) \\ 0 \end{matrix}$
Die Funktion $f (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.
$x^{2} - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
$x^{2}$ $=$ $4$
↓
Wurzel ziehen.
$x_{2,3}$ $=$ $\pm \sqrt{4}$
$=$ $\pm 2$
Die Funktion $f (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 2$ .
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$g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12$
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $g (x)$ ein.
$g (1) = 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 16 \cdot 1 + 12 = 0$
Die Funktion $g (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = 1$ eine Nullstelle. Da $g (1) = 0$ , wissen wir, dass $g (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x - 1)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $g (x) : (x - 1)$ durch.
$\begin{matrix} - (x^{3} + 3 x^{2} - 16 x + 12) : (x - 1) = x^{2} + 4 x - 12 \\ - (x^{3} - x^{2}) \\ 4 x^{2} - 16 x \\ - (4 x^{2} - 4 x) \\ - 12 x + 12 \\ - (- 12 x + 12) \\ 0 \end{matrix}$
Die Funktion $g (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $g$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.
$x^{2} + 4 x - 12$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$
$=$ $\frac{- 4 \pm 8}{2}$
$x_{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_{3} = \frac{- 12}{2} = - 6$
Fall 1: $+$
Fall 2: $-$
Die Funktion $g (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ und $x_{3} = - 6$ .
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$h (x) = 3 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 90 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$h (x)$ $=$ $3 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 90 x$
↓
$3 x$ ausklammern.
$h (x)$ $=$ $3 x \cdot (x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30)$
$\Rightarrow x_{1} = 0$
Die Funktion $h (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = 0$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $h$ bestimmen, indem du die Klammer gleich $0$ setzt.
$x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30 = 0$
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $- 2$ für $x$ ein.
$(- 2)^{3} + 4 \cdot (- 2)^{2} - 11 \cdot (- 2) - 30 = - 8 + 16 + 22 - 30 = 0$
Die Funktion $h (x)$ hat an der Stelle $x_{2} = - 2$ eine Nullstelle. Da $h (- 2) = 0$ , wissen wir, dass $h (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 2)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $(x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30) : (x + 2)$ durch.
$\begin{array}{l} (x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30) : (x + 2) = x^{2} + 2 x - 15 \\ - (x^{3} + 2 x^{2}) \\ 2 x^{2} - 11 x \\ - (2 x^{2} + 4 x) \\ - 15 x - 30 \\ - (- 15 x - 30) \\ 0 \end{array}$
Setze das erhaltene Polynom gleich $0$ .
$x^{2} + 2 x - 15$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{3,4}$ $=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{3,4}$ $=$ $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$
$x_{3,4}$ $=$ $\frac{- 2 \pm 8}{2}$
Fall 1: $+$
$x_{3} = \frac{6}{2} = 3$
Fall 2: $-$
$x_{4} = \frac{- 10}{2} = - 5$
Die Funktion $h (x)$ hat vier Nullstellen bei $x_{1} = 0$ , $x_{2} = - 2$ , $x_{3} = 3$ und $x_{4} = - 5$ .
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$i (x) = x^{3} - 7 x - 6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$i (x)$ $=$ $x^{3} - 7 x - 6$
↓
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $i (x)$ ein.
$i (1)$ $=$ $1^{3} - 7 \cdot 1 - 6$
$i (1)$ $=$ $- 12$
$i (1) \neq 0$
Setze z.B. $- 1$ in $i (x)$ ein.
$i (- 1) = (- 1)^{3} - 7 \cdot (- 1) - 6 = 0$
Die Funktion $i (x)$ hat an der Stelle $x_{1} = - 1$ eine Nullstelle. Da $i (- 1) = 0$ , wissen wir, dass $i (x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x + 1)$ besitzt.
Führe nun die Polynomdivision $i (x) : (x + 1)$ durch.
$\begin{matrix} - (x^{3} + 0 x^{2} - 7 x - 6) : (x + 1) = x^{2} - x - 6 \\ - (x^{3} + x^{2}) \\ - x^{2} - 7 x \\ - (- x^{2} - x) \\ - 6 x - 6 \\ - (- 6 x - 6) \\ 0 \end{matrix}$
Die Funktion $i (x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_{1} = - 1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $i$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.
$x^{2} - x - 6$ $=$ $0$
↓
Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$
↓
Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}$
$x_{2,3}$ $=$ $\frac{1 \pm 5}{2}$
$x_{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_{3} = \frac{- 4}{2} = - 2$
Fall 1: $+$
Fall 2: $-$
Die Funktion $i (x)$ hat drei Nullstellen bei $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 3$ und $x_{3} = - 2$ .
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$x^{2} - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$x^{2}$	$=$	$4$
	↓	Wurzel ziehen.
$x_{2,3}$	$=$	$\pm \sqrt{4}$
	$=$	$\pm 2$

$x^{2} + 4 x - 12$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$
	$=$	$\frac{- 4 \pm 8}{2}$

$h (x)$	$=$	$3 x^{4} + 12 x^{3} - 33 x^{2} - 90 x$
	↓	$3 x$ ausklammern.
$h (x)$	$=$	$3 x \cdot (x^{3} + 4 x^{2} - 11 x - 30)$

$x^{2} + 2 x - 15$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$
$x_{3,4}$	$=$	$\frac{- 2 \pm 8}{2}$

$i (x)$	$=$	$x^{3} - 7 x - 6$
	↓	Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $i (x)$ ein.
$i (1)$	$=$	$1^{3} - 7 \cdot 1 - 6$
$i (1)$	$=$	$- 12$

$x^{2} - x - 6$	$=$	$0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}$
$x_{2,3}$	$=$	$\frac{1 \pm 5}{2}$

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