Aufgaben zur Polynomdivision - lernen mit Serlo!

Tintenkleckse

Was verbirgt sich dahinter?

Setze a für den gesuchten Klecks und starte mit der Multiplikationsprobe der Division
$\displaystyle \text{Wert des Quotienten}\color{red}{\cdot}\text{Divisor} = \text{Dividend}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}(x+2)\cdot(x^2-1) &=& x^3+a-x-2\\x^3-x+2x^2-2&=&x^3+a-x-2\\a&=&2x^2 \end{array}$
Löse die Gleichung nach $a$ auf.
Der Tintenklecks verdeckt den Term $2 x^{2}$ .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Setze $a$ für den gesuchten Klecks und starte mit der Multiplikationsprobe der Division:
$\displaystyle \text{Wert des Quotienten}\color{red}{\cdot}\text{Divisor} = \text{Dividend}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}(x^2+1)\cdot(a+1) &=& -2x^3+x^2-2x+1\\ax^2+x^2+a+1 &=& -2x^3+x^2-2x+1\\a(x^2+1) &=&-2x^3-2x\\a(x^2+1) &=&-2x(x^2+1)\\a &=&-2x\end{array}$
Löse die Gleichung nach a auf.
Der Tintenklecks verdeckt den Term $- 2 x$ .
Alternative Lösung über die Polynomdivision
$(- 2 x^{3} + x^{2} - 2 x + 1) : (a + 1) = x^{2} + 1$
Starte die Polynomdivision
Schon der erste Schriit des Verfahrens der Polynomdivision ergibt einen Wert für $a$ :
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} -2x^3:a &=& x^2\;\;\;\;\;\;\;|\cdot a \\-2x^3 &=&a\cdot x^2\;\;\;|:x^2\\\Rightarrow a &=&-2x\end{array}$
Es ist allerdings noch nachzurechnen, dass die Polynomdivision mit diesem Wert für $a$ auch wirklich aufgeht.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-} (-2x^3+x^2-2x+1):(\color{red}{-2x}+1)=x^2+1\\ \color{red}{-} (\underline{-2x^3+x^2})\\\hphantom{-(2x^3+x+1}-2x+1\\\hphantom{-2x^3+x^2}\;\,\color{red}{-}\underline{(-2x+1)}\\\hphantom{(-2x^3+x^2-2x+1+}\color{red}{0}\end{array}$
Die Polynomdivision geht also mit $a = - 2 x$ tatsächlich auf. Der Tintenklecks ist entzaubert!
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Setze $a$ für den gesuchten Klecks ein und starte mit der Multiplikationsprobe der Division.
$\displaystyle \text{Wert des Quotienten}\color{red}{\cdot}\;\text{Divisor}=\text{Dividend}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} (x-2)\cdot(x^2-x+a)&=&x^3-3x^2+4 \\ x^3-x^2+ax-2x^2+2x-2a &=& x^3-3x^2+4\\ x^3-3x^2+2x+a(x-2) &=&x^3-3x^2+4\\ a(x-2) &=&4-2x\\ a(x-2) &=&-2(x-2)\;\;\;\;\;\;|:(x-2)\\ a&=&-2 \end{array}$
Löse die Gleichung nach $a$ auf.
Der Tintenklecks verdeckt die Zahl $- 2$ .
Alternative Lösung über die Polynomdivision
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{\-} (x^3-3x^2\;\;\;\;\;\;+4)\cdot(x^2-x+a)=x-2\\\color{red}{-}\underline{(x^3-\;x^2+ax)}\\\hphantom{-x^3} -2x^2-ax+4\\\hphantom{-}\color{red}{-}\underline{(-2x^2+2x-2a)}\\\hphantom{-x\; } -(\underbrace{a+2}_{\color{red}{\displaystyle 0\text{!}}})x +(\underbrace{4+2a}_{\color{red}{\displaystyle0\text{!}}})\end{array}$
Die Polynomdivision geht genau für $a = - 2$ auf.
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