Setze a für den gesuchten Klecks und starte mit der Multiplikationsprobe der Division

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}(x+2)\cdot(x^2-1) &=& x^3+a-x-2\\x^3-x+2x^2-2&=&x^3+a-x-2\\a&=&2x^2 \end{array}$

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

Setze $a$ für den gesuchten Klecks und starte mit der Multiplikationsprobe der Division:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}(x^2+1)\cdot(a+1) &=& -2x^3+x^2-2x+1\\ax^2+x^2+a+1 &=& -2x^3+x^2-2x+1\\a(x^2+1) &=&-2x^3-2x\\a(x^2+1) &=&-2x(x^2+1)\\a &=&-2x\end{array}$

Löse die Gleichung nach a auf.

$(-2x^3+x^2-2x+1):(a+1)=x^2+1$

Starte die Polynomdivision

Schon der erste Schriit des Verfahrens der Polynomdivision ergibt einen Wert für $a$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} -2x^3:a &=& x^2\;\;\;\;\;\;\;|\cdot a \\-2x^3 &=&a\cdot x^2\;\;\;|:x^2\\\Rightarrow a &=&-2x\end{array}$

Es ist allerdings noch nachzurechnen, dass die Polynomdivision mit diesem Wert für $a$ auch wirklich aufgeht.

Setze $a$ für den gesuchten Klecks ein und starte mit der Multiplikationsprobe der Division.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl} (x-2)\cdot(x^2-x+a)&=&x^3-3x^2+4 \\ x^3-x^2+ax-2x^2+2x-2a &=& x^3-3x^2+4\\ x^3-3x^2+2x+a(x-2) &=&x^3-3x^2+4\\ a(x-2) &=&4-2x\\ a(x-2) &=&-2(x-2)\;\;\;\;\;\;|:(x-2)\\ a&=&-2 \end{array}$

Löse die Gleichung nach $a$ auf.