Ausgefallene Polynomdivisionen
Berechne:
(x4+3âx2+1):(x2â1)
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Polynomdivision
Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
Die Koeffizienten der Polynome mĂŒssen nicht ganzzahlig sein. Es können auch BrĂŒche oder gar irrationale Zahlen vorkommen. Das Verfahren der Polynomdivision wird dadurch nicht beeinflusst. Lediglich einzelne Rechenschritte gestalten sich teilweise unangenehmer.
â(x4+3âx2+1):(x2â1)=x2+(3â+1)+x2â13â+2ââ(x4âx2â)(3â+1)x2+1â[(3â+1)x2â(3â+1)]ââ(x4+3+x2+13â+2â
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Berechne:
(2x4+x2âxâ1):(x2â1):(x2+1)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Polynomdivision
So wie die Aufgabe gestellt ist, hat man zwei Polynomdivisionen nacheinander durchzufĂŒhren. Dies kann man vermeiden und kommt mit einer Polynomdivision aus, wenn man die folgende Rechenregel fĂŒr Divisionen anwendet:
a:b:c=a:(bâ c)(2x4+x2âxâ1):(x2â1):(x2+1)=(2x4+x2âxâ1):[x4â1(x2â1)â (x2+1)ââ]FĂŒhre die Polynomdivision durch.
â(2x4+x2âxâ1):(x4â1)=2+x4â1x2âx+1ââ(2x4â2â)â(2x4+x2âx+1RestâĂberprĂŒfe, ob du zum gleichen Endergebnis kommst, wenn du - wie in der Aufgabenstellung - beide Divisionen nacheinander durchfĂŒhrst.
Die erste Division:
â(2x4+x2âxâ1):(x2â1)=2x2+3+x2â1âx+2ââ(2x4â2x2â)(2x4+xy3x2âxâ1(2x4xâ(3x2â3â)(2x4+x2)+âx+2Restâ
Die anschlieĂende zweite und aufwĂ€ndige Division:
(2x2+3+x2â1âx+2â):(x2+1)â(2x2+2â)(2x2+31+x2+1âx+2âRestâ=2+x2+1(1+x2â1âx+2â)â=2+x2+1x2â1x2â1âx+2ââ=2+(x2â1)(x2+1)x2âx+1â=2+x4â1x2âx+1ââ
Die "doppelte" Polynomdivision fĂŒhrt am Ende zum gleichen Ergebnis.
Die ZweckmĂ€Ăigkeit des geschickten Verwendens der Rechenregel
a:b:c=a:(bâ c)ist aber ersichtlich.
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Berechne:
(3x3+3x2â4xâ4):(3âxâ2):(3âx+2)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Polynomdivision
(3x3+3x2â4xâ4):(3âxâ2):(3âx+2)
Benutze die Rechenregel
a:b:c=a:(bâ c)um mit einer Polynomdivision auszukommen.
(3x3+3x2â4xâ4):(3âxâ2):(3âx+2)=(3x3+3x2â4xâ4):[3x2â4(3âxâ2)â (3âx+2)ââ]âVerwende den Divisor 3x2â4 fĂŒr die Polynomdivision und fĂŒhre die Polynomdivision durch.
â(3x3+3x2â4xâ4):(3x2â4)=x+1â(3x3â4xâ)â(3x3+3x2â4â(3x3â(3x2â4â)â3x3+3x2â4xâ40
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