Polynomdivision

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.

Die Koeffizienten der Polynome müssen nicht ganzzahlig sein. Es können auch Brüche oder gar irrationale Zahlen vorkommen. Das Verfahren der Polynomdivision wird dadurch nicht beeinflusst. Lediglich einzelne Rechenschritte gestalten sich teilweise unangenehmer.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-} \displaystyle(x^4+\sqrt{3}x^2+1):(x^2-1)={x^2+(\sqrt{3}+1)+\frac{\sqrt{3}+2}{ x^2-1}}\\-(\underline{x^4\;\,\;\;-x^2})\\\;\;\;(\sqrt{3}+1)x^2\;+1\\-[\underline{(\sqrt{3}+1)x^2-(\sqrt{3}+1)]}\\\hphantom{-(x^4+3+x^2+1}\sqrt{3}+2\end{array}$

Polynomdivision

So wie die Aufgabe gestellt ist, hat man zwei Polynomdivisionen nacheinander durchzuführen. Dies kann man vermeiden und kommt mit einer Polynomdivision aus, wenn man die folgende Rechenregel für Divisionen anwendet:

Überprüfe, ob du zum gleichen Endergebnis kommst, wenn du - wie in der Aufgabenstellung - beide Divisionen nacheinander durchführst.

Die erste Division:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-}(2x^4+\;\;x^2-x-1):(x^2-1)=2x^2+3+\displaystyle\frac{-x+2}{x^2-1}\\\color{red}{-}(\underline{2x^4-2x^2})\\\hphantom{(2x^4+xy}3x^2-x-1\\\hphantom{(2x^4x}\color{red}{-}(\underline{3x^2\;\;\;\;\;\;-3})\\\hphantom{(2x^4+x^2)+}\;-x+2\;\;\;\;\;\color{red}{Rest}\end{array}$

Die anschließende zweite und aufwändige Division:

Polynomdivision

$(3x^3+3x^2-4x-4):(\sqrt{3}x-2):(\sqrt{3}x+2)$

Verwende den Divisor $3x^2-4$ für die Polynomdivision und führe die Polynomdivision durch.

$\hphantom{-}(3x^3+3x^2-4x-4):(3x^2-4)=x+1\\\color{red}{-}(\underline{3x^3\;\;\;\;\;\;\,\;\;-4x})\\\hphantom{-(3x^3+\;}3x^2\;\;\;\;\;\;\;-4\\\hphantom{-(3x^3}\color{red}{-}(\underline{3x^2\;\;\;\;\;\;\,-4})\\\hphantom{-3x^3+3x^2-4x-4} 0$