Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

$\begin{array}{l}\phantom{-}(-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)=x^2-1\\ -(\underline{-2x^3+3x^2})\\ \phantom{(-2x}0+0+2x-3\\ \phantom{(-2x^3+3x^2+}-(\underline{2x-3})\\ \phantom{(-2x^3+3x^2+2x-3}0\end{array}$

Es gilt also:

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

Hinweis:

Schreibe bei einer Polynomdivision Glieder mit gleichem Exponenten möglichst immer untereinander. Das Verfahren wird dadurch übersichtlicher und du vermeidest Rechenfehler.

$\begin{array}{l}\phantom{-}(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)=-2x+3\\ -(\underline{-2x^3\phantom{+3x^{2}1}+2x})\\ \phantom{(-2x^3+3}3x^2\phantom{+2x1}-3\\ \phantom{-2x^3{x}^2}-(\underline{3x^2\phantom{+2x1}-3})\\ \phantom{-2x^2+3x^2+2x-31}0\end{array}$

Es gilt also:

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

$\begin{array}{l}(x^4-x^3-21x^2+x+20):(x^2+5x+4)=x^2-6x+5\\ \underline{-(x^4+5x^3+4x^2)}\\ -6x^3-25x^2+x\\ \underline{-(-6x^3-30x^2-24x)}\\ 5x^2+25x+20\\ \underline{-(5x^2+25x+20)}\\ 0\end{array}$

Achtung Falle!

Nach dem Ordnen beider Polynome stellst du fest, dass das Dividendenpolynom und das Divisorpolynom gleich sind. Der Wert der Division ist demnach $1$. Eine Polynomdivision entfällt somit.

$(x^4+2x^3-x^2+1):(x^4+2x^3-x^2+1)=1$

Achtung Falle!

Das Verfahren einer Polynomdivision entfällt, wenn der Grad des Divisorpolynoms größer ist als der Grad des Dividendenpolynoms.

Der Wert des Quotienten ist der Bruchterm aus beiden Polynomen.

$$(3x^2+1):(2x^3-1)={\displaystyle \frac{3x^2+1}{2x^3-1}}$$

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

$\begin{array}{l}\phantom{-}(x^5-x^4+3x-3):(x-1)=x^4+3\\ -(\underline{x^5-x^4})\\ \phantom{(-(x^5-}0+3x-3\\ \phantom{(-2x^3+3}-(\underline{3x-3})\\ \phantom{(-2x^3+3x^2+2}0\end{array}$

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.

$\begin{array}{l}(x^3+\mathrm{1,5}{x}^2+0-\mathrm{0,5}):(x-\mathrm{0,5})=x^2+2x+1\\ \underline{-(x^3-\mathrm{0,5}{x}^2)}\\ 2x^2+0\\ \underline{-(2x^2-x)}\\ x-\mathrm{0,5}\\ \underline{-(x-\mathrm{0,5})}\\ 0\end{array}$

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.

Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.

$$\begin{array}{l}\phantom{-}(x^2+0+1):(x-1)=x+1+{\displaystyle \frac{2}{x-1}}\\ -(\underline{x^2-x})\\ \phantom{(x^2+0}x+1\\ \phantom{(x^2+}-(\underline{x-1})\\ \phantom{(x^2+1):)x}2\leftarrow \text{Rest}\end{array}$$

Wende zum Lösen dieser Aufgabe das Verfahren der Polynomdivision an.

$$\begin{array}{l}\phantom{-}(4x^5-x^4):(2x^2-x+1)=2x^3+\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{0,75}x-\mathrm{0,625}+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,125}x+\mathrm{0,625}}{2x^2-x+1}}\\ -(\underline{4x^5-2x^4+2x^3})\\ \phantom{(4x^5-x^4}{x}^4-2x^3\\ \phantom{(4x^5-}-(\underline{x^4-\mathrm{0,5}{x}^3+\mathrm{0,5}{x}^2})\\ \phantom{(4x^5--x^4}-\mathrm{1,5}{x}^3-\mathrm{0,5}{x}^2\\ \phantom{(4x^5-x^4}-(\underline{-\mathrm{1,5}{x}^3+\mathrm{0,75}{x}^2-\mathrm{0,75}x})\\ \phantom{(4x^5-x^4):(2x^2-}-\mathrm{1,25}{x}^2+\mathrm{0,75}x\\ \phantom{(4x^5-x^4):(2x^2}-(\underline{-\mathrm{1,50}{x}^2+\mathrm{0,625}x-\mathrm{0,625}})\\ \phantom{(4x^5-x^4):(2x^2-x+1):(2x^2}\mathrm{0,125}x+\mathrm{0,625}\text{Restpolynom}\end{array}$$

Lösen mit Polynomdivision

Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du das Verfahren der Polynomdivision kennen.

Polynome unterscheidet man unter anderem nach ihrem Grad, dem höchsten Exponenten der vorkommenden Potenzglieder.

Eine Konstante, wie die Zahl $5$, kann deshalb wegen $5=5\cdot x^0$ als Polynom 0. Grades betrachtet werden.

Der zu berechnende Quotient kann demnach als Polynomdivision eines Polynoms 3.Grades durch ein Polynom 0.Grades angesehen werden.

Die charakteristischen dreischrittigen Arbeitsvorgänge $\text{Division}\to \text{Multiplikation}\to \text{Subtraktion}$ ergeben sich hier wie folgt:

$\begin{array}{l}\phantom{\text{1. Restpolynom}}(10x^2-5x+1):5=2x^2-x+\mathrm{0,2}\\ \phantom{\text{1. Restpolyno}}-\underline{10x^2}\\ \text{1. Restpolynom}-5x+1\\ \phantom{\text{1. Restpolynom}}+\underline{5x}\\ \phantom{2x+}\text{2. Restpolynom}+1\\ \phantom{2x+3+4+10x^2+2x+}\underline{-1}\\ \phantom{2x+3+2}\text{3. Restpolynom}0\end{array}$

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

$\begin{array}{l}\phantom{-}(x^3+3x^2-4x-12):(x-2)=x^2+5x+6\\ -\underline{(x^3-2x^2)}\\ \phantom{-(x^3-1}5x^2-4x\\ \phantom{(x^3+}-\underline{(5x^2-10x)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-x}6x-12\\ \phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(6x-12)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}$

Es gilt also:

Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.

Bevor du jedoch die Polynomdivision dürchführen kannst, musst du erst den Dividenden ordnen:

$(-4x+5x^2-3+2x^3)=(2x^3+5x^2-4x-3)$

Berechne nun $(2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1)$ mit dem Verfahren der Polynomdivision:

$\begin{array}{l}\phantom{-}(2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1)=x^2+2x-3\\ -\underline{(2x^3+x^2)}\\ \phantom{-(2x^3+(}4x^2-4x\\ \phantom{2x^3+}-\underline{(4x^2+2x)}\\ \phantom{(2x^3++5x^2}-6x-3\\ \phantom{2x^3+5x^2}-\underline{(-6x-3)}\\ \phantom{(2x^3+5x^2-4x-3)}0\end{array}$

Es gilt also:

Verwende das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.

Im Dividenden fehlt das Monom mit $x^2$. Ergänze deshalb $0\cdot x^2=0$ im Dividenden:

$(x^4+4x^3+2x-3)=(x^4+4x^3+0+2x-3)$

Benutze nun das Verfahren der Polynomdivision:

$\begin{array}{l}\phantom{-}(x^4+4x^3+0+2x-3):(x+2)=x^3+2x^2-4x+10+\left({\displaystyle \frac{-23}{x+2}}\right)\\ -\underline{(x^4+2x^3)}\\ \phantom{-(x^4+)}2x^3+0\\ \phantom{(x^4(}-\underline{(2x^3+4x^2)}\\ \phantom{(x^4+4x^3+}-4x^2+2x\\ \phantom{(x^4+4x}-\underline{(-4x^2-8x)}\\ \phantom{(-x^4+4x^3+0+2}10x-3\\ \phantom{(x^4+4x^3+0+}-\underline{(10x+20)}\\ \phantom{-(x^4+4x^3+0+2x-3)}-23\leftarrow \text{Rest}\end{array}$

Es gilt also: