Bruchterme

Allgemeines zur Definitionsmenge

Bevor du beginnst, mit Bruchtermen zu rechnen, solltest du deren Definitionsmenge bestimmen, da sich diese durch deine Rechnungen verändern kann.

Wie du bereits weißt, ist es verboten, durch die Zahl $00$ zu teilen. Deshalb musst du untersuchen, für welche Zahlen der Nenner deines Bruchs $00$ wird. Diese Zahlen werden dann aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.

Beispiel

Betrachte bspw. den Term $T(x)=\frac{10}{x-5}T(x)=\backslash frac\{10\}\{x-5\}$. Da die gesuchte Variable $xx$ im Nenner des Bruchs vorkommt, ist dieser Term ein Bruchterm. Der Nenner dieses Terms nimmt für $x=5x=5$ den Wert $00$ an. Dieser Wert ist also die Definitionslücke dieses Bruchterms. Folglich ist die Definitionsmenge $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus \{5\}\backslash mathbb\{D\}=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash \{5\backslash \}$.

Erweitern

Bruchterme kannst du genauso erweitern wie Brüche, wobei du bei Bruchtermen nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit Termen erweitern kannst.

Beispiel

Betrachte den Bruchterm ${\displaystyle \frac{3}{x}}\backslash dfrac\{3\}\{x\}$. Die Definitionsmenge dieses Bruchterms ist $D=\mathbb{Q}\setminus \{0\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$.

Jetzt erweitere den Bruchterm mit $x-1x-1$.

Der Bruchterm $\frac{3\cdot (x-1)}{x\cdot (x-1)}\backslash frac\{3\backslash cdot(x-1)\}\{x\backslash cdot(x-1)\}$ hat als Definitionsmenge $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{\mathrm{0,1}\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{0\{,\}1\backslash \}$, da weder $00$ noch $11$ in den Nenner eingesetzt werden dürfen, denn sonst wäre der Nenner gleich $00$.

Kürzen

Bruchterme kannst du genauso kürzen wie Brüche, wobei du hier nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit Termen kürzen darfst.

Beispiel

Betrachte den Bruchterm:

Die Definitionsmenge von diesem Bruchterm ist $D=\mathbb{Q}\setminus \{0,-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash \{0,-1\backslash \}$.

Als Nächstes wird $(x+1)(x+1)$ gekürzt:

Wenn man nun von $\frac{x+2}{x}\backslash frac\{x+2\}\{x\}$ die Definitionsmenge bestimmen würde, dann wäre diese $D=\mathbb{Q}\setminus \{0\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$. Die Definitionsmenge wird aber von vor dem Kürzen beibehalten und ist somit $D=\mathbb{Q}\setminus \{0,-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash \{0,-1\backslash \}$.

Addieren und Subtrahieren

Beispiel

Betrachte die beiden Bruchterme ${\displaystyle \frac{3}{x}}\backslash dfrac\{3\}\{x\}$ und ${\displaystyle \frac{5}{x+1}}\backslash dfrac\{5\}\{x+1\}$.

Die Summe dieser beiden Bruchterme ist:

Subtrahierst du die beiden Bruchterme, erhältst du:

Multiplizieren

Beispiel

Du hast die beiden Bruchterme ${\displaystyle \frac{8}{x}}\backslash displaystyle\backslash frac\{8\}\{x\}$ und ${\displaystyle \frac{2}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash frac\{2\}\{x+1\}$.

• Die Definitionsmenge von ${\displaystyle \frac{8}{x}}\backslash displaystyle\backslash frac\{8\}\{x\}$ ist $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{0\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{0\backslash \}$.

• Die Definitionsmenge von ${\displaystyle \frac{2}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash frac\{2\}\{x+1\}$ ist $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{-1\backslash \}$.

Dann ist ihr Produkt:

mit der Definitionsmenge $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{0,-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{0,\; -1\backslash \}$.

Dividieren

Beispiel

Du hast die beiden Brüche ${\displaystyle \frac{x}{x-5}}\backslash displaystyle\backslash frac\{x\}\{x-5\}$ und ${\displaystyle \frac{x}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash frac\{x\}\{x+1\}$. Betrachte die Division:

• Die Definitionsmenge von ${\displaystyle \frac{x}{x-5}}\backslash displaystyle\backslash frac\{x\}\{x-5\}$ ist $D=\mathbb{Q}\setminus \{5\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash setminus\backslash \{5\backslash \}$.

• Die Definitionsmenge von ${\displaystyle \frac{x}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash frac\{x\}\{x+1\}$ ist $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{-1\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{-1\backslash \}$.

• Die Definitionsmenge von ${\displaystyle \frac{x+1}{x}}\backslash displaystyle\backslash frac\{x+1\}\{x\}$, der Kehrbruch von ${\displaystyle \frac{x}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash frac\{x\}\{x+1\}$, ist $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{0\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{0\backslash \}$.

Folglich ist die Definitionsmenge von

durch $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{-\mathrm{1,0},5\}D=\backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{-1\{,\}0,5\backslash \}$ gegeben.