Bruchterme

Unter einem Bruchterm versteht man einen Term, welcher aus einem oder mehreren Brüchen besteht, wobei die gesuchte Variable in mindestens einem Nenner vorkommt.

Mit Bruchtermen kann man wie mit normalen Brüchen rechnen.

Allgemeines zur Definitionsmenge

Bevor du beginnst, mit Bruchtermen zu rechnen, solltest du deren Definitionsmenge bestimmen, da sich diese durch deine Rechnungen verändern kann.

Wie du bereits weißt, ist es verboten, durch die Zahl $0$ zu teilen. Deshalb musst du untersuchen, für welche Zahlen der Nenner deines Bruchs $0$ wird. Diese Zahlen werden dann aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.

Beispiel

Betrachte bspw. den Term $T(x)=\frac{10}{x-5}$ . Da die gesuchte Variable $x$ im Nenner des Bruchs vorkommt, ist dieser Term ein Bruchterm. Der Nenner dieses Terms nimmt für $x=5$ den Wert $0$ an. Dieser Wert ist also die Definitionslücke dieses Bruchterms. Folglich ist die Definitionsmenge $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{5\}$ .

Erweitern

Bruchterme kannst du genauso erweitern wie Brüche, wobei du bei Bruchtermen nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit Termen erweitern kannst.

Man erweitert einen Bruchterm, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl oder demselben Term multipliziert.

VorsichtDefinitionsmenge

Wenn du einen Bruchterm mit einem weiteren Term erweiterst, kann es sein, dass eine neue Definitionslücke entsteht. Dies passiert, wenn du mit einem Term erweiterst, der eine Nullstelle im Definitionsbereich besitzt.

Beispiel

Betrachte den Bruchterm $\dfrac{3}{x}$ . Die Definitionsmenge dieses Bruchterms ist $D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ .

Jetzt erweitere den Bruchterm mit $x-1$ .

\displaystyle\frac{3}{x}=\frac{3\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}

Hier wurden der Nenner $x$ und der Zähler $3$ jeweils mit $x-1$ multipliziert.

Der Bruchterm $\frac{3\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}$ hat als Definitionsmenge $D=\mathbb{Q}\backslash\{0{,}1\}$ , da weder $0$ noch $1$ in den Nenner eingesetzt werden dürfen, denn sonst wäre der Nenner gleich $0$ .

Kürzen

Bruchterme kannst du genauso kürzen wie Brüche, wobei du hier nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit Termen kürzen darfst.

Man kürzt einen Bruchterm, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl oder denselben Term dividiert.

VorsichtDefinitionsmenge

Wenn du aus einem Bruchterm einen Term kürzt, kann es sein, dass eine Definitionslücke verloren geht. Deswegen ist es wichtig, die Definitionsmenge am Anfang zu bestimmen und beizubehalten.

Beispiel

Betrachte den Bruchterm:

\displaystyle\frac{3}{x}=\frac{3\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}

Die Definitionsmenge von diesem Bruchterm ist $D=\mathbb{Q}\setminus\{0,-1\}$ .

Als Nächstes wird $(x+1)$ gekürzt:

\displaystyle\frac{3}{x}=\frac{3\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}

Hier wurde der Nenner $(x+1)\cdot(x+2)$ und der Zähler $x\cdot(x+1)$ durch $(x+1)$ geteilt.

Wenn man nun von $\frac{x+2}{x}$ die Definitionsmenge bestimmen würde, dann wäre diese $D=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ . Die Definitionsmenge wird aber von vor dem Kürzen beibehalten und ist somit $D=\mathbb{Q}\setminus\{0,-1\}$ .

Addieren und Subtrahieren

Beim Addieren bzw. Subtrahieren von zwei Bruchtermen bringt man zunächst beide Bruchterme durch Erweitern und Kürzen auf denselben Nenner und addiert bzw. subtrahiert anschließend die Zähler der beiden Bruchterme.

Beispiel

Betrachte die beiden Bruchterme $\dfrac{3}{x}$ und $\dfrac{5}{x+1}$ .

Die Summe dieser beiden Bruchterme ist:

	$\displaystyle \displaystyle\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x+1}$
	↓ Erweitern
$=$	$\displaystyle \dfrac{3\cdot(x+1)}{x\cdot(x+1)}+\dfrac{5\cdot x}{(x+1)\cdot x}$
	↓ Zusammenfassen
$=$	$\displaystyle \dfrac{3\cdot(x+1)+5\cdot x}{x\cdot(x+1)}$
	↓ Klammern im Zähler auflösen
$=$	$\displaystyle \dfrac{8\cdot x+3}{x\cdot(x+1)}$

Subtrahierst du die beiden Bruchterme, erhältst du:

	$\displaystyle \displaystyle\frac{3}{x}-\frac{5}{x+1}$
	↓ Erweitern
$=$	$\displaystyle \dfrac{3\cdot(x+1)}{x\cdot(x+1)}-\dfrac{5\cdot x}{(x+1)\cdot x}$
	↓ Zusammenfassen
$=$	$\displaystyle \dfrac{3\cdot(x+1)-5\cdot x}{x\cdot(x+1)}$
	↓ Klammern im Zähler auflösen
$=$	$\displaystyle \dfrac{3-2\cdot x}{x\cdot(x+1)}$

Multiplizieren

Beim Multiplizieren zweier Bruchterme multiplizierst du sowohl die Zähler, als auch die Nenner der beiden Bruchterme miteinander.

VorsichtDefinitionsmenge

Wenn du zwei Bruchterme multiplizierst, musst du die Definitionsmenge der beiden Bruchterme einzeln bestimmen. Als Definitionsmenge nimmst du dann die Überdeckung der beiden Definitionsmengen. Du kannst auch die Definitionslücken beider Brüche zusammen nehmen, denn dies sind die Definitionslücken des Produkts.

Beispiel

Du hast die beiden Bruchterme $\displaystyle\frac{8}{x}$ und $\displaystyle\frac{2}{x+1}$ .

Die Definitionsmenge von $\displaystyle\frac{8}{x}$ ist $D=\mathbb{Q}\backslash\{0\}$ .
Die Definitionsmenge von $\displaystyle\frac{2}{x+1}$ ist $D=\mathbb{Q}\backslash\{-1\}$ .

Dann ist ihr Produkt:

\displaystyle\frac{3}{x}=\frac{3\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}

mit der Definitionsmenge $D=\mathbb{Q}\backslash\{0, -1\}$ .

Dividieren

Beim Dividieren eines Bruchterms durch einen anderen multiplizierst du den ersten Bruchterm mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchterms.

VorsichtDefinitionsmenge

Wenn du den ersten Bruch durch den zweiten Bruch teilst, musst du die Definitionslücken des ersten Bruchs, des zweiten Bruchs und des Kehrbruch des zweiten Bruchs zusammenfassen. Dadurch erhältst du die Definitionslücken des Ergebnisses.

Beispiel

Du hast die beiden Brüche $\displaystyle\frac{x}{x-5}$ und $\displaystyle\frac{x}{x+1}$ . Betrachte die Division:

\displaystyle\frac{3}{x}=\frac{3\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}

Die Definitionsmenge von $\displaystyle\frac{x}{x-5}$ ist $D=\mathbb{Q}\setminus\{5\}$ .
Die Definitionsmenge von $\displaystyle\frac{x}{x+1}$ ist $D=\mathbb{Q}\backslash\{-1\}$ .
Die Definitionsmenge von $\displaystyle\frac{x+1}{x}$ , der Kehrbruch von $\displaystyle\frac{x}{x+1}$ , ist $D=\mathbb{Q}\backslash\{0\}$ .

Folglich ist die Definitionsmenge von

\displaystyle\frac{3}{x}=\frac{3\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}

durch $D=\mathbb{Q}\backslash\{-1{,}0,5\}$ gegeben.

Übungsaufgaben: Bruchterme

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