Aufgaben zur Polynomdivision - lernen mit Serlo!

Polynomdivisionen mit Parametern

Führe die Polynomdivisionen durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

$(x^{3} + (3 - a) x^{2} + (2 - 3 a) x - 2 a) : (x + 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Das Polynom des Dividenden ist vom Grade 3 und nach fallenden Potenzen geordnet und somit für das Divisionsverfahren geeignet. Die Koeffizienten beim quadratischen und beim linearen Glied sind in Klammern stehende Differenzen mit einem Parameter a.
$\begin{array}{l} (x^{3} + (3 - a) x^{2} + (2 - 3 a) x - 2 a) : (x + 2) = x^{2} + (1 - a) x - a \\ - (x^{3} + 2 x^{2}) \\ (1 - a) x^{2} + (2 - 3 a) x \\ - ((1 - a) x^{2} + (2 - 2 a) x) \\ - a x - 2 a \\ - (- a x - 2 a) \\ 0 \end{array}$
Da die Division des Polynom 3.Grades durch $(x + 2)$ aufgegangen ist, hat es $x_{1} = - 2$ als 1. Nullstelle.
Die eventuellen Nullstellen des Ergebnispolynoms $x^{2} + (1 - a) x - a$ sind dann seine weiteren Nullstellen.
Nullstellenberechnung
$x^{2} + (1 - a) x - a = 0$
Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.
$x_{2 / 3} = \frac{- (1 - a) \pm \sqrt{(1 - a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- a)}}{1 \cdot 2}$
$x_{2 / 3} = \frac{(- 1 + a) \pm \sqrt{1 - 2 a + a^{2} + 4 a}}{2}$
$x_{2 / 3} = \frac{(- 1 + a) \pm \sqrt{1 + 2 a + a^{2}}}{2}$
$x_{2 / 3} = \frac{(- 1 + a) \pm \sqrt{(1 + a)^{2}}}{2}$
$x_{2 / 3} = \frac{(- 1 + a) \pm (1 + a)}{2}$
$x_{2} = a \land x_{3} = - 1$
Alle Nullstellen des Polynoms 3. Grades sind: -1, -2, a
Faktorisierung
Für das gegebene Polynom 3. Grades $x^{3} + (3 - a) x^{2} + (2 - 3 a) x - 2 a$ ergibt sich somit folgende Linearfaktorzerlegung:
$(x^{3} + (3 - a) x^{2} + (2 - 3 a) x - 2 a) = (x - a) (x + 2) (x + 1)$
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$(- x^{3} + x^{2} + {ex}^{2} - ex + 2 x - 2 e) : (x - 2)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Vorbereitung der Polynomdivision
Bevor man mit einer Polynomdivision beginnt, muss man
sicherstellen, dass sowohl im Dividenden als auch im Divisor die Polynome nach fallenden Exponenten geordnet sind und
sollte man Glieder mit gleichem Exponenten zusammenfassen.
Dies erreicht man durch eventuelles Umstellen von Gliedern und durch Ausklammern.
Beide Polynome sind hier bereits nach fallenden Potenzen geordnet. Sowohl das Polynom 3. Grades des Dividenden, als auch das Polynom 1. Grades des Divisors. Die quadratischen und die linearen Glieder des Dividendenpolynoms sind aber noch nicht zusammengefasst.
$- x^{3} + \underset{(1 + e) x^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} + e x^{2}}} - \underset{(e - 2) x}{\underset{⏟}{e x + 2 x}} - 2 e$
Fasse im Dividenden die quadratischen und die linearen Glieder durch Ausklammern zusammen.
Polynomdivision
$\begin{array}{l} (- x^{3} + (1 + e) x^{2} - (e - 2) x - 2 e) : (x - 2) = - x^{2} + (e - 1) x + e \\ - (- x^{3} + 2 x^{2}) \\ (e - 1) x^{2} - (e - 2) x \\ - [(e - 1) x^{2} - 2 (e - 1) x] \\ e x - 2 e \\ - (e x - 2 e) \\ 0 \end{array}$
alternative Polynomdivision (ohne Zusammenfassen im Dividendenpolynom)
$\begin{matrix} [l] (- x^{3} + x^{2} + e x^{2} - e x + 2 x - 2 e) : (x - 2) = - x^{2} + (- x + e x) + e \\ - (- x^{3} + 2 x^{2}) \\ - x^{2} + e x^{2} - e x + 2 x \\ (- x^{2} + e x^{2} - 2 e x + 2 x) \\ e x - 2 e \\ - (e x - 2 e) \\ 0 \end{matrix}$
Nullstellenberechnung
$- x^{2} + (e - 1) x + e = 0$
Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel
$x_{2; 3} = \frac{- (e - 1) \pm \sqrt{(e - 1)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot e}}{- 2}$
Das Minus in Nenner und Zähler kürzt sich weg.
$x_{2; 3} = \frac{(e - 1) \pm \sqrt{e^{2} - 2 e + 1 + 4 e}}{2}$
Unter der Wurzel zusammenfassen
$x_{2; 3} = \frac{(e - 1) \pm \sqrt{e^{2} + 2 e + 1}}{2}$
Auf die Diskriminante unter der Wurzel kann die erste Binomische Formel angewendet werden.
$x_{2; 3} = \frac{(e - 1) \pm \sqrt{(e + 1)^{2}}}{2}$
Wurzelziehen
$x_{2; 3} = \frac{(e - 1) \pm (e + 1)}{2}$
$x_{2} = e \land x_{3} = - 1$
Faktorisierung
Für das gegebene Polynom 3. Grades $- x^{3} + x^{2} + e x^{2} - e x + 2 x - 2 e$ ergibt sich somit folgende Linearfaktorzerlegung: $- (x + 1) (x - 2) (x - e)$ .
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Nullstellenberechnung

Faktorisierung

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