Aufgaben zur Polynomdivision - lernen mit Serlo!

Vorübungen zur Polynomdivision - Subtraktion von Polynomen

Polynome subtrahiert man der besseren Übersichtlichkeit wegen oft spaltenweise.

Beispiel:

Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen

f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 1 und g (x) = 2 x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} + x

Berechne $f (x) - g (x)$ .

$\begin{aligned} f (x) - g (x) & = (3 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 1) - (2 x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} + x) \\ = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 1 - 2 x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} - x \\ = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x - 1 \end{aligned}$

Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man die beiden Polynome für $f (x)$ und $g (x)$ untereinander schreibt und darauf achtet, dass die Glieder mit gleichen Exponeten genau untereinander stehen.

2.Weg

Wer lieber spaltenweise addiert, der bildet zuerst $- g (x)$ .

Bilde für folgende Aufgaben die Differenz $f (x) - g (x)$ .

$\begin{aligned} f (x) & = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x + 2 \\ g (x) & = 2 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x - 3 \end{aligned}$
Klicke an was stimmt!
- $- x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5$
- $3 x^{4} - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 1$
- $- x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 5$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
$\begin{aligned} f (x) & = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x + 2 \\ g (x) & = 2 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x - 3 \end{aligned}$
Bilde $- g (x)$ und addiere dann $f (x)$ und $- g (x)$ spaltenweise.
$\begin{aligned} f (x) & = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x + 2 \\ - g (x) & = - 2 x^{4} - x^{3} + 3 x^{2} + x + 3 \\ f (x) - g (x) & = - x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5 \end{aligned}$
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$\begin{aligned} f (x) & = 3 x^{3} + x - 1 \\ g (x) & = x^{3} + 1 \end{aligned}$
Klicke an was stimmt!
- $2 x^{3} + x - 2$
- $2 x^{3} + x$
- $4 x^{3} + x$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
$f (x)$ und $- g (x)$ spaltenweise addieren!
$\begin{aligned} f (x) & = 3 x^{3} + x - 1 \\ - g (x) & = - x^{3} - 1 \\ f (x) - g (x) & = 2 x^{3} + x - 2 \end{aligned}$
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$f (x) = - x^{5} + 2 x - 1$ und $g (x) = - 3 x^{5} + x^{2} + 2 x - 1$
Klicke an was stimmt!
- $2 x^{5} - x^{2}$
- $- 4 x^{5} + x^{2} + 4 x - 2$
- $- 4 x^{5} - x^{2}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
$f (x)$ und $- g (x)$ spaltenweise addieren!
$\begin{aligned} f (x) & = - x^{5} + 2 x - 1 \\ - g (x) & = + 3 x^{5} - x^{2} - 2 x + 1 \\ f (x) - g (x) & = 2 x^{5} - x^{2} \end{aligned}$
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$f (x) = 1 - x^{3}$ und $g (x) = x^{3} + 2 x + x$
Klicke an was stimmt!
- $- 2 x^{3} - 3 x + 1$
- $2 x^{3} + 3 x - 1$
- $- 2 x^{3} + 3 x + 1$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Die Polynome sind noch nicht geordnet ( $f (x))$ bzw. zusammengefasst ( $g (x)$ ).
$f (x) = 1 - x^{3}$ noch nicht geordnet:
Geordnet: $f (x) = - x^{3} + 1$
$g (x) = x^{3} + 2 x + x$ noch nicht zusammengefasst:
Zusammengefasst: $- g (x) = - x^{3} - 3 x$
Addiere die geordneten und zusammengefassten Poynome spaltenweise.
$\begin{aligned} f (x) & = - x^{3} + 1 \\ - g (x) & = - x^{3} - 3 x \\ f (x) - g (x) & = - 2 x^{3} - 3 x + 1 \end{aligned}$
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$f (x) = 2 x^{2} - 1 + x^{3} + 3 x + 2$ und $g (x) = 3 - x + x^{2}$
Klicke an was stimmt.
- $x^{3} + x^{2} + 4 x - 2$
- $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 4$
- $x^{3} + x^{2} + 2 x - 2$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
$\begin{aligned} f (x) & = 2 x^{2} - 1 + x^{3} + 3 x + 2 \\ g (x) & = 3 - x + x^{2} \end{aligned}$
In den Polynomen zusammenfassen und ordnen. Dazu $- g (x)$ bilden.
$\begin{aligned} f (x) & = x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 1 \\ - g (x) & = - x^{2} + x - 3 \\ f (x) - g (x) & = x^{3} + x^{2} + 4 x - 2 \end{aligned}$
spaltenweise addieren
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Das Polynom $x^{3} - 1$ sei das Ergebnis der Polynomdifferenz $f (x) - g (x)$ .
Kreuze an was stimmt.
- Dann kennt man auch das Ergebnis von $g (x) - f (x)$ .
- Dann kennt man auch das Ergebnis von $f (x) + g (x)$ .
- Dann kennt man weder das Ergebnis von $f (x) + g (x)$ noch das Ergebnis von $g (x) - f (x)$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
Stets kann man aus $f (x) - g (x)$ auch $g (x) - f (x)$ erschließen, da immer gilt:
$g (x) - f (x) = - (f (x) - g (x))$
Also ist hier:
$g (x) - f (x) = - (x^{3} - 1) = 1 - x^{3}$
$f (x) + g (x)$ kann man aus $f (x) - g (x)$ nur im Sonderfall, dass $g (x)$ das Nullpolynom $g (x) = 0$ ist erschließen. Dann ist $f (x) + g (x) = f (x) - g (x)$ .
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