$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(2x^2-x-2):(x-1)=\displaystyle2x+1-\frac1{x-1}\\\color{red}{-} \underline{(2x^2-2x)\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\color{red}{-}\underline{(1x-1)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-1\;\;\;\;\color {red}{Rest}\end{array}$

Die Polynomdivision "geht nicht auf". Der verbleibende Rest $(-1)$ wird als Bruchterm mit dem Divisor als Nenner zum Teilergebnis des Divisionsverfahrens hinzugefügt.

Die Polynomdivision hat f(x) in die Differenz aus dem Polynom ersten Grades $a(x)=2x+1$ und der echtgebrochenrationalen Funktion $r(x)$ zerlegt.

$f(x)=\underbrace{2x+1}_{\displaystyle \color {red}{a(x)}} -\underbrace {\frac{1}{x-1}}_{\displaystyle \color {red}{r(x)}}$

Bringe $a(x)$ auf die linke Seite der Gleichung.

$f(x)-a(x)= \displaystyle \frac{-1}{x-1}$

Für jede echtgebrochenrationale Funktion $r(x)$ gilt:

$\lim _{x\rightarrow \pm \infty }r(x)=0$

$f(x)-a(x)= \underbrace{\frac{-1}{x-1}}_{\displaystyle \color{red}{\rightarrow 0} \;\text{falls}\; x\rightarrow \pm \infty}$

Damit unterscheiden sich $f(x)$ und $a(x)$ für $x$ gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.

Die Gerade $a(x)=2x+1$ ist deshalb die Asymptote von $f(x)$ für $x$ gegen plus/minus Unendlich.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^2-x):(x+1)=x-2+\displaystyle\frac2{x-1}\\\color{red}{-}\underline{(x^2+x)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;-2x+0\\\;\;\;\;\,\color{red}{-}\underline{(2x-2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,2\;\;\;\;\color{red}{Rest}\end{array}$

Die Polynomdivision "geht nicht auf". Der verbleibende Rest wird als Bruchterm mit dem Divisor als Nenner dem Teilergebnis hinzugefügt.

Die Polynomdivision hat $f(x)$ in die Summe aus der linearen Funktion $a(x)$ und die echtgebrochenrationale Funktion $r(x)$ zerlegt.

Bringe $a(x)$ auf die linke Seite der Gleichung.

Für jede echtgebrochenrationale Funktion $r(x)$ gilt

Damit unterscheidet sich $f(x)$ von $a(x)$ für $x$ gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.

Die Gerade $a(x)=x-2$ ist somit die Asymptote von $f(x)$ für $x$ gegen plus/minus Unendlich.

Die Polynomdivision hat $f(x)$ in die Summe der linearen Funktion $a(x)$ und eine echtgebrochenrationale Funktion $r(x)$ zerlegt.

Bringe $a(x)$ auf die linke Seite der Gleichung.

Für jede echtgebrochenrationale Funktion $r(x)$ gilt

Damit unterscheidet sich $f(x)$ von $a(x)$ für $x$ gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.

Die Gerade $a(x)=0{,}5x-2$ ist somit die Asymptote der Funktion $f(x)$ für $x$ gegen plus/minus Unendlich.

Die Polynomdivision hat $f(x)$ in die Summe aus dem Polynom 2. Grades $a(x)=-x^2+x$ und die echt gebrochenrationale Funktion r(x) mit dem Zählergrad 1 und dem Nennergrad 2 zerlegt.

$\displaystyle f(x) =\underbrace{-x^2+x}_{\displaystyle \color{red}{a(x)}}+\underbrace{\frac{1-x}{x^2+x+1}}_{\displaystyle \color{red}{r(x)}}$

Bringe $a(x)$ auf die linke Seite der Gleichung.

$f(x)-a(x)= \displaystyle \frac{1-x}{x^2+x+1}$

Für jede echtgebrochenrationale Funktion $r(x)$ gilt:

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty}r(x)=0$

$\displaystyle f(x)-a(x)= \underbrace{\frac{1-x}{x^2+x+1}}_{\displaystyle \color{red}{\rightarrow 0} \;\text{falls}\; x\rightarrow \pm \infty}$

Damit unterscheiden sich $f(x)$ und $a(x)$ für x gegen plus/minus Unendlich um beliebig wenig.

Die nach unten geöffnete Parabel $a(x)$ ergibt die asymptotische Kurve von $f(x)$ für x gegen plus/minus Unendlich.