Zeige, dass die Funktion $f$ keine Nullstellen besitzt

Gegeben: $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-4x+8}{-2x+4}}$

Löse $0=x^2-4x+8$. Betrachte dazu die Diskriminante.

$D=b^2-4ac\Rightarrow D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 8=16-32=-16<0$

$\Rightarrow$Die Funktion $f$ besitzt keine Nullstellen.

Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von $f$ bei links- und rechtsseitiger Annäherung an die Definitionslücke

Die Definitionslücke ist $x=2$.

$${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\underset{\to 0^{+}}{\underbrace{\stackrel{\to 4}{\overbrace{{\displaystyle \frac{x^2-4x+8}{-2x+4}}}}}}=+\infty }$$

$${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{\lim }\underset{\to 0^{-}}{\underbrace{\stackrel{\to 4}{\overbrace{{\displaystyle \frac{x^2-4x+8}{-2x+4}}}}}}=-\infty }$$

Gib die Art der Definitionslücke an

$x=2$ ist eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel.

Ermittle jeweils die Art und die Gleichung aller Asymptoten von $G_f$

Es gibt eine senkrechte Asymptote bei $x=2$.

Da der Zählergrad um 1 größer als der Nennergrad ist, gibt es eine schräge Asymptote.

Führe eine Polynomdivision durch:

$\begin{array}{l}\phantom{-}(x^2-4x+8):(-2x+4)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1+{\displaystyle \frac{4}{-2x+4}}\\ -\underline{(x^2-2x)}\\ \phantom{----}-2x+8\\ \phantom{---}-\underline{(-2x+4)}\\ \phantom{-----------}4\end{array}$

Die schräge Asymptote hat die Gleichung $y_A=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$.

Ermittle die maximalen Monotonieintervalle

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

Bilde mithilfe der Quotientenregel die 1. Ableitung und löse die Gleichung $f^{\prime }(x)=0$.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{(-2x+4)\cdot (2x-4)-(-2)\cdot (x^2-4x+8)}{(-2x+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{-4x^2+8x+8x-16+2x^2-8x+16}{(-2x+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{-2x^2+8x}{(-2x+4{)}^2}}$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=-2x^2+8x=-2x(x-4)\Rightarrow x=0\vee x=4$

Erstelle eine Monotonietabelle:

$f^{\prime }(-1)=-{\displaystyle \frac{5}{18}}<0,f^{\prime }(1)={\displaystyle \frac{3}{2}}>0,f^{\prime }(3)={\displaystyle \frac{3}{2}}>0,f^{\prime }(5)=-{\displaystyle \frac{5}{18}}<0$

$G_f$ ist streng monoton fallend in $]-\infty ;0]$ und in $[4;\infty [$.

$G_f$ ist streng monoton steigend in $]0;2[$ und in $]2;4]$.

Art und Koordinaten aller Extrempunkte von $G_f$

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-4x+8}{-2x+4}}$

$\Rightarrow f(0)={\displaystyle \frac{8}{4}}=2\Rightarrow TP(0|2)$

$\Rightarrow f(4)={\displaystyle \frac{4^2-4\cdot 4+8}{-2\cdot 4+4}}\Rightarrow f(4)={\displaystyle \frac{8}{(-4)}}=-2\Rightarrow HP(4|-2)$

Zeichne den Graphen $G_f$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie alle Asymptoten für - $6\le x\le 8$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

Gib die Wertemenge der Funktion $f$ an

$W_f=ℝ\backslash \{]-2;2[\}$ oder $W_f=]-\infty ;-2]\cup [2;\infty [$

1) Zeigen Sie, dass $F$ in $D_F$ eine Stammfunktion von $f$ ist

Gegeben: $F(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+x-2\ln (-2x+4)$

Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann muss gelten $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Berechne $F^{\prime }(x)$:

$F^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{-2x+4}}\cdot (-2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+1+{\displaystyle \frac{4}{-2x+4}}=f(x)$

2) Kennzeichne dieses Flächenstück im Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1 d)

Berechne die Maßzahl des Inhalts dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet

$$A={\displaystyle {\int }_{-6}^{0}f(x)\mathrm{d}x={[-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+x-2\ln (-2x+4)]}_{-6}^0}$$

$A=(-2\ln (4))-(-9-6-2\ln (16))=-2\ln (4)+15+2\ln (16)=2\ln (4)+15\approx \mathrm{17,77}$

Die Maßzahl des Inhalts dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet, beträgt $\mathrm{17,77}\mathrm{FE}$.