🎓 Ui, schon PrĂŒfungszeit? Hier geht's zur Mathe-PrĂŒfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Gegeben ist die Funktion f(x)=x2−4x+8−2x+4f(x)= \dfrac{x^2-4x+8}{-2x+4} mit ihrer maximalen Definitionsmenge Df=RD_f= \mathbb{R} \{2}. Der Graph der Funktion ff wird mit GfG_f bezeichnet.

  1. Zeigen Sie, dass die Funktion ff keine Nullstellen besitzt und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von ff bei links- und rechtsseitiger AnnĂ€herung an die DefinitionslĂŒcke. Geben Sie die Art der DefinitionslĂŒcke an.

  2. Ermitteln Sie jeweils die Art und die Gleichung aller Asymptoten von GfG_f.

    [ Mögliches Teilergebnis: f(x)=−12x+1+4−2x+4f(x)=-\dfrac{1}{2}x+1+\dfrac{4}{-2x+4} ]

  3. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie jeweils die Art und die Koordinaten aller Extrempunkte von GfG_f.

    [Mögliches Teilergebnis: fâ€Č(x)=−2x2+8x(−2x+4)2f'(x)=\dfrac{-2x^2+8x}{(-2x+4)^2} ]

  4. Zeichnen Sie den Graphen GfG_f unter BerĂŒcksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte sowie alle Asymptoten fĂŒr - 6≀x≀86\le x\le8 in ein kartesisches Koordinatensystem. Geben Sie die Wertemenge der Funktion ff an.

    Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1cm

  5. Gegeben ist die Funktion F:x→−14x2+x−2ln(−2x+4)F: x\rightarrow -\dfrac{1}{4}x^2+x-2ln(-2x+4) mit der Definitionsmenge DF=]−∞;2[D_F=]-\infty ;2[.

    1) Zeigen Sie, dass FF in DFD_F eine Stammfunktion von ff ist.

    2) Der Graph GfG_f, die Gerade mit der Gleichung x=–6x = –6 und die beiden Koordinatenachsen schließen im zweiten Quadranten ein endliches FlĂ€chenstĂŒck ein. Kennzeichnen Sie dieses FlĂ€chenstĂŒck im Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1.d und berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieses FlĂ€chenstĂŒcks auf zwei Nachkommastellen gerundet.