Zeigen Sie, dass $x_1=e^{-1}$ und $x_2=e$ die einzigen Nullstellen von $f$ sind. Bestimmen Sie auch das Verhalten der Funktionswerte von $f$ an den Rändern des Definitionsbereiches und die Gleichung der senkrechten Asymptote von $G_f.$

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und die Koordinaten des absoluten Extrempunktes von $G_f$. Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion $f$ an.[Mögliches Teilergebnis: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2\ln (x)}{x}}$ ]

Bestimmen Sie die exakte Gleichung der Wendetangente an den Graphen $G_f$.

Zeichnen Sie den Graphen $G_f$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte im Bereich $0<x\le \mathrm{5,5}$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 2 cm

Gegeben ist die Funktion $F:x\to x\cdot (ln(x)-1{)}^2$ mit der Definitionsmenge $D_F=]0;\infty [.$

1) Zeigen Sie, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

2) Der Graph $G_f$ und die x-Achse schließen im vierten Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung aus Teilaufgabe 1.d) und berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts der Fläche auf zwei Nachkommastellen gerundet.