Teil 2 Analysis 2

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Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen Hilfsmittel verwendet werden.

1
Gegeben ist die Funktion $f : x \to 1 + (l n (x))^{2}$ mit der Definitionsmenge $D_{f} =] 0; \infty [$ . Der Graph der Funktion $f$ wird mit $G_{f}$ bezeichnet.
1. Zeigen Sie, dass $x_{1} = e^{- 1}$ und $x_{2} = e$ die einzigen Nullstellen von $f$ sind. Bestimmen Sie auch das Verhalten der Funktionswerte von $f$ an den Rändern des Definitionsbereiches und die Gleichung der senkrechten Asymptote von $G_{f} .$
2. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und die Koordinaten des absoluten Extrempunktes von $G_{f}$ . Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion $f$ an.[Mögliches Teilergebnis: $f^{'} (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$ ]
3. Bestimmen Sie die exakte Gleichung der Wendetangente an den Graphen $G_{f}$ .
4. Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte im Bereich $0 < x \leq 5,5$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
  Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 2 cm
5. Gegeben ist die Funktion $F : x \to x \cdot (l n (x) - 1)^{2}$ mit der Definitionsmenge $D_{F} =] 0; \infty [.$
  1) Zeigen Sie, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
  2) Der Graph $G_{f}$ und die x-Achse schließen im vierten Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung aus Teilaufgabe 1.d) und berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts der Fläche auf zwei Nachkommastellen gerundet.
2
Eine Kette ist an ihren Enden an zwei Punkten aufgehängt. Die beiden Aufhängepunkte haben einen waagrechten Abstand von $10 c m$ und sind auf gleicher Höhe angebracht. Der Verlauf der Kette wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem durch den Graphen $G_{K}$ (siehe Abbildung) der Funktion $K$ beschrieben. Die Funktion $K$ ist dabei gegeben durch die Gleichung $K (x) = 2 \cdot (e^{0,25 x - 1,25} + e^{- 0,25 x + 1,25})$ mit $D_{K} =$ $[0; 10]$ . Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Zentimeter. Auf die Mitführung der Einheiten kann verzichtet werden.
1. Ermitteln Sie die Koordinaten des tiefsten Punktes der Kette und führen Sie den rechnerischen Nachweis, dass es sich dabei um einen lokalen Tiefpunkt handelt.
  [ Mögliches Teilergebnis: $K^{'} (x) = 0,5 (e^{0,25 x - 1,25} - e^{- 0,25 x + 1,25})$ ]
2. Der Kettenverlauf kann durch eine Parabel $G_{p}$ angenähert werden, die durch den Punkt $Q (0 | 7,554)$ und ihren Scheitelpunkt $S (5 | 4)$ verläuft. Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen quadratischen Funktion $p$ .
3. Die Parabel $G_{p}$ verläuft für $x \in] 0; 5 [$ stets oberhalb des Graphen $G_{K}$ . In diesem Bereich wird der Abstand der senkrecht übereinander liegenden Punkte $A (x | p (x)) \in G_{p}$ und $B (x | K (x)) \in G_{K}$ betrachtet. Die Abbildung zeigt einen nicht maßstabsgerechten, vergrößerten Ausschnitt von $G_{p}$ und $G_{K}$ . Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel $G_{p}$ den Graphen $G_{K}$ im Bereich $0 < x < 5$ annähert. Beschreiben Sie, wie dieser größte Abstand rechnerisch bestimmt werden kann.
  Hinweis: Eine rechnerische Lösung soll nicht durchgeführt werden.

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