Teil 2 Analysis 2

Zeigen Sie, dass $x_1=e^{-1}x\_1=e^\{-1\}$ und $x_2=ex\_2=e$ die einzigen Nullstellen von $ff$ sind. Bestimmen Sie auch das Verhalten der Funktionswerte von $ff$ an den Rändern des Definitionsbereiches und die Gleichung der senkrechten Asymptote von $G_f\mathrm{.}G\_f.$

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und die Koordinaten des absoluten Extrempunktes von $G_{f}G\_f$. Geben Sie auch die Wertemenge der Funktion $ff$ an.[Mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2\ln (x)}{x}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{2\backslash ln(x)\}\{x\}$ ]

Bestimmen Sie die exakte Gleichung der Wendetangente an den Graphen $G_{f}G\_f$.

Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}G\_f$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte im Bereich $0<x\le \mathrm{5,5}0\backslash lt\; x\backslash le\; 5\{,\}5$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 2 cm

Gegeben ist die Funktion $F:x\to x\cdot (ln(x)-1{)}^{2}F:x\backslash rightarrow\; x\backslash cdot\; (ln(x)-1)^2$ mit der Definitionsmenge $D_F=]0;\mathrm{\infty }[\mathrm{.}D\_F=]0;\backslash infty[.$

1) Zeigen Sie, dass $FF$ eine Stammfunktion von $ff$ ist.

2) Der Graph $G_{f}G\_f$ und die x-Achse schließen im vierten Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung aus Teilaufgabe 1.d) und berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts der Fläche auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Ermitteln Sie die Koordinaten des tiefsten Punktes der Kette und führen Sie den rechnerischen Nachweis, dass es sich dabei um einen lokalen Tiefpunkt handelt.

[ Mögliches Teilergebnis: $K^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{0,5}(e^{\mathrm{0,25}x-\mathrm{1,25}}-e^{-\mathrm{0,25}x+\mathrm{1,25}})K\text{'}(x)=0\{,\}5(e^\{0\{,\}25x-1\{,\}25\}-\; e^\{-0\{,\}25x+1\{,\}25\})$ ]

Der Kettenverlauf kann durch eine Parabel $G_{p}G\_p$ angenähert werden, die durch den Punkt $Q(0\mathrm{\mid }\mathrm{7,554})Q(0|7\{,\}554)$ und ihren Scheitelpunkt $S(5\mathrm{\mid }4)S(5|4)$ verläuft. Ermitteln Sie die Gleichung der zugehörigen quadratischen Funktion $pp$.

Die Parabel $G_{p}G\_p$ verläuft für $x\in ]0;5[x\backslash in\; ]0;5[$ stets oberhalb des Graphen $G_{K}G\_K$. In diesem Bereich wird der Abstand der senkrecht übereinander liegenden Punkte $A(x\mathrm{\mid }p(x))\in G_{p}A(x|p(x))\backslash in\; G\_\; p$ und $B(x\mathrm{\mid }K(x))\in G_{K}B(x|K(x))\backslash in\; G\_K$ betrachtet. Die Abbildung zeigt einen nicht maßstabsgerechten, vergrößerten Ausschnitt von $G_{p}G\_\; p$ und $G_{K}G\_K$. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel $G_{p}G\_p$ den Graphen $G_{K}G\_K$ im Bereich $0<x<50\backslash lt\; x\backslash lt\; 5$ annähert. Beschreiben Sie, wie dieser größte Abstand rechnerisch bestimmt werden kann.

Hinweis: Eine rechnerische Lösung soll nicht durchgeführt werden.