Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ sind der Punkt $A(2|–1|–4)$ sowie die Geraden

g: $\vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ 0\\ -3 \end{pmatrix}+\alpha\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $h_k$ : $\vec x=\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} k \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ mit $\alpha, \mu, k \in \mathbb{R}$ gegeben.

Es gilt $A\notin g$ . Somit legen der Punkt $A$ und die Gerade $g$ eine Ebene $E$ fest.

Ermitteln Sie je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter-und Koordinatenform.
[ Mögliches Teilergebnis: E: $x_1-2x_2-4=0 ]$
Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass sich die Geraden $g$ und $h_k$ in einem Punkt $S$ schneiden und berechnen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes $S$ .
Für $k=-4$ ergibt sich die Gerade $h_4$ : $\vec x=\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
Zeigen Sie, dass die Gerade $h_{-4}$ echt parallel zur Ebene $E$ verläuft. Fertigen Sie ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine aussagekräftige Skizze an, aus der die gegenseitige Lage von $E$ sowie der beiden Geraden $h_4$ und $g$ klar hervorgeht. Formulieren Sie die Lagebeziehung zwischen $h_4$ und $g$ zusätzlich in Worten.