Ermittle je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und Koordinatenform

Gegeben: $A(2|\text{–}1|\text{–}4)$ und $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot (\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$

Die Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform lautet $E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)$.

Umwandlung der Parameterform in die Koordinatenform

Berechne den Normalenvektor von $E$:

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$

$\Rightarrow E:1\cdot x_1-2\cdot x_2+0=d$

Setze die Koordinaten von $A$ ein:

$2-2\cdot (-1)=d\Rightarrow d=4$

$E:x_1-2\cdot x_2=4\Rightarrow E:x_1-2\cdot x_2-4=0✓$

Die Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform lautet $E:x_1-2\cdot x_2-4=0$.

Bestimme den Wert von $k$ so, dass sich die Geraden $g$ und $h_k$ in einem Punkt $S$ schneiden

Gegeben: $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ und $h_k:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,5}\\ 4\\ -1\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}k\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Setze $g=h$:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,5}\\ 4\\ -1\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}k\\ -2\\ 2\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{c}-\mathrm{0,5}\\ -4\\ -2\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ -2\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{c}k\\ -2\\ 2\end{array}\right)$

Du erhältst das folgende Gleichungssystem:

$(\mathrm{I}):-\mathrm{0,5}=-2\lambda +k\cdot \mu$

$(\mathrm{I}\mathrm{I}):-4=-\lambda -2\mu$

$(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):-2=-2\lambda +2\mu$

Rechne $(\mathrm{I}\mathrm{I})+(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})$:

$-6=-3\lambda \Rightarrow \lambda =2$

Setze $\lambda =2$ in $(\mathrm{I}\mathrm{I}):-4=-\lambda -2\mu$ ein:$\Rightarrow -4=-2-2\mu \Rightarrow -2=-2\mu \Rightarrow \mu =1$

Setze $\lambda =2$ und $\mu =1$ in $(\mathrm{I}):-\mathrm{0,5}=-2\lambda +k\cdot \mu$ ein:$\Rightarrow -\mathrm{0,5}=-2\cdot 2+k\cdot 1\Rightarrow k=\mathrm{3,5}$

Für $k=\mathrm{3,5}$ schneiden sich die Geraden $g$ und $h_k$ in einem Punkt $S$.

Berechne die Koordinaten dieses Schnittpunktes $S$

Setze $\lambda =2$ in $g$ ein:

${\overrightarrow{x}}_S=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 2\\ 1\end{array}\right)$

Die Koordinaten dieses Schnittpunktes sind $S(8|2|1)$.

Anmerkung: Alternativ kann auch $\mu =1$ in $h_{\mathrm{3,5}}$ eingesetzt werden $\Rightarrow S(8|2|1)$.

Zeige, dass die Gerade $h_{-4}$ echt parallel zur Ebene $E$ verläuft

${\overrightarrow{n}}_E=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)$ und ${\overrightarrow{u}}_{h_{-4}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 2\end{array}\right)$.

Ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren gleich null, dann stehen sie senkrecht aufeinander und $h_{-4}$ verläuft parallel zu $E$.

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 2\end{array}\right)=-4+4+0=0$

Prüfe, ob $(\mathrm{4,5}|4|-1)$ auf $E$ liegt, dann würde die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegen.

$E:x_1-2\cdot x_2-4=0\Rightarrow \mathrm{4,5}-2\cdot 4-4=-\mathrm{7,5}\ne 0\Rightarrow g\notin E$.

Die Gerade $h_{-4}$ verläuft echt parallel zur Ebene $E$.

Fertige ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine aussagekräftige Skizze an, aus der die gegenseitige Lage von $E$ sowie der beiden Geraden $h_{-4}$ und $g$ klar hervorgeht

Die Gerade $h_{-4}$ verläuft echt parallel zur Ebene $E$ und $g\in E$.

Formuliere die Lagebeziehung zwischen $h_{-4}$ und $g$ zusätzlich in Worten

1. Die Geraden $h_{-4}$ und $g$ sind nicht parallel zueinander, da die Richtungsvektoren offensichtlich linear unabhängig sind.

2. Die Geraden $h_{-4}$ und $g$ schneiden sich nicht, da die Gerade $h_{-4}$ echt parallel zur Ebene $E$ verläuft und $g$ in $E$ liegt.

3. $h_{-4}$ und $g$ sind windschief zueinander.