Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind der Punkt $A (2 | – 1 | – 4)$ sowie die Geraden

g: $\vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + α (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ und $h_{k}$ : $\vec{x} = (\begin{array}{c} 4,5 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) + μ (\begin{array}{c} k \\ - 2 \\ 2 \end{array})$ mit $α, μ, k \in ℝ$ gegeben.

Es gilt $A \notin g$ . Somit legen der Punkt $A$ und die Gerade $g$ eine Ebene $E$ fest.

Ermitteln Sie je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter-und Koordinatenform.
[ Mögliches Teilergebnis: E: $x_{1} - 2 x_{2} - 4 = 0]$
Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass sich die Geraden $g$ und $h_{k}$ in einem Punkt $S$ schneiden und berechnen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes $S$ .
Für $k = - 4$ ergibt sich die Gerade $h_{4}$ : $\vec{x} = (\begin{array}{c} 4,5 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) + μ (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
Zeigen Sie, dass die Gerade $h_{- 4}$ echt parallel zur Ebene $E$ verläuft. Fertigen Sie ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine aussagekräftige Skizze an, aus der die gegenseitige Lage von $E$ sowie der beiden Geraden $h_{4}$ und $g$ klar hervorgeht. Formulieren Sie die Lagebeziehung zwischen $h_{4}$ und $g$ zusätzlich in Worten.

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