Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen Hilfsmittel verwendet werden.

1
In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind der Punkt $A (2 | – 1 | – 4)$ sowie die Geraden
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ und $h_{k}$ : $\vec{x} = (\begin{array}{c} 4,5 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) + μ (\begin{array}{c} k \\ - 2 \\ 2 \end{array})$ mit $λ, μ, k \in ℝ$ gegeben.
Es gilt $A \notin g$ . Somit legen der Punkt $A$ und die Gerade $g$ eine Ebene $E$ fest.
1. Ermitteln Sie je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und Koordinatenform.
  [ Mögliches Teilergebnis: E: $x_{1} - 2 x_{2} - 4 = 0]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln
  Ermittle je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und Koordinatenform
  Gegeben: $A (2 | – 1 | – 4)$ und $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ .
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + r (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + s \cdot ((\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ - 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array})) = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + r (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})$
  Die Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform lautet $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + r (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})$ .
  Umwandlung der Parameterform in die Koordinatenform
  Berechne den Normalenvektor von $E$ :
  $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})$
  $\Rightarrow E : 1 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + 0 = d$
  Setze die Koordinaten von $A$ ein:
  $2 - 2 \cdot (- 1) = d \Rightarrow d = 4$
  $E : x_{1} - 2 \cdot x_{2} = 4 \Rightarrow E : x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 4 = 0 ✓$
  Die Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform lautet $E : x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 4 = 0$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Parameterform:
  $E : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + μ \cdot (\vec{O A} - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}))$
  Koordinatenform:
  Berechne den Normalenvektor von $E$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von $E$ $\Rightarrow {\vec{n}}_{E}$ .
  Es ist $E : {\vec{n}}_{E} \circ \vec{x} = d$ . Bestimme $d$ , indem Du die Koordinaten von $A$ einsetzt.
2. Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass sich die Geraden $g$ und $h_{k}$ in einem Punkt $S$ schneiden und berechnen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes $S$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
  Bestimme den Wert von $k$ so, dass sich die Geraden $g$ und $h_{k}$ in einem Punkt $S$ schneiden
  Gegeben: $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ und $h_{k} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4,5 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) + μ (\begin{array}{c} k \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  Setze $g = h$ :
  $(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + λ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4,5 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) + μ (\begin{array}{c} k \\ - 2 \\ 2 \end{array}) \Rightarrow (\begin{array}{c} - 0,5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) = λ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{array}) + μ (\begin{array}{c} k \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  Du erhältst das folgende Gleichungssystem:
  $(I) : - 0,5 = - 2 λ + k \cdot μ$
  $(I I) : - 4 = - λ - 2 μ$
  $(I I I) : - 2 = - 2 λ + 2 μ$
  Rechne $(I I) + (I I I)$ :
  $- 6 = - 3 λ \Rightarrow λ = 2$
  Setze $λ = 2$ in $(I I) : - 4 = - λ - 2 μ$ ein: $\Rightarrow - 4 = - 2 - 2 μ \Rightarrow - 2 = - 2 μ \Rightarrow μ = 1$
  Setze $λ = 2$ und $μ = 1$ in $(I) : - 0,5 = - 2 λ + k \cdot μ$ ein: $\Rightarrow - 0,5 = - 2 \cdot 2 + k \cdot 1 \Rightarrow k = 3,5$
  Für $k = 3,5$ schneiden sich die Geraden $g$ und $h_{k}$ in einem Punkt $S$ .
  Berechne die Koordinaten dieses Schnittpunktes $S$
  Setze $λ = 2$ in $g$ ein:
  ${\vec{x}}_{S} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 \\ 2 \\ 1 \end{array})$
  Die Koordinaten dieses Schnittpunktes sind $S (8 | 2 | 1)$ .
  Anmerkung: Alternativ kann auch $μ = 1$ in $h_{3,5}$ eingesetzt werden $\Rightarrow S (8 | 2 | 1)$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Teil 1
  Setze $g = h$ und löse das Gleichungssystem.
  Teil 2
  Setze z.B. $λ$ in $g$ ein.
3. Für $k = - 4$ ergibt sich die Gerade $h_{- 4} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4,5 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) + μ (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
  Zeigen Sie, dass die Gerade $h_{- 4}$ echt parallel zur Ebene $E$ verläuft. Fertigen Sie ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine aussagekräftige Skizze an, aus der die gegenseitige Lage von $E$ sowie der beiden Geraden $h_{- 4}$ und $g$ klar hervorgeht. Formulieren Sie die Lagebeziehung zwischen $h_{- 4}$ und $g$ zusätzlich in Worten.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Zeige, dass die Gerade $h_{- 4}$ echt parallel zur Ebene $E$ verläuft
  ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array})$ und ${\vec{u}}_{h_{- 4}} = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$ .
  Ist das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren gleich null, dann stehen sie senkrecht aufeinander und $h_{- 4}$ verläuft parallel zu $E$ .
  $(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = - 4 + 4 + 0 = 0$
  Prüfe, ob $(4,5 | 4 | - 1)$ auf $E$ liegt, dann würde die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegen.
  $E : x_{1} - 2 \cdot x_{2} - 4 = 0 \Rightarrow 4,5 - 2 \cdot 4 - 4 = - 7,5 \neq 0 \Rightarrow g \notin E$ .
  Die Gerade $h_{- 4}$ verläuft echt parallel zur Ebene $E$ .
  Fertige ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine aussagekräftige Skizze an, aus der die gegenseitige Lage von $E$ sowie der beiden Geraden $h_{- 4}$ und $g$ klar hervorgeht
  Lage von $E$ sowie der beiden Geraden $h_{- 4}$ und $g$
  Die Gerade $h_{- 4}$ verläuft echt parallel zur Ebene $E$ und $g \in E$ .
  Formuliere die Lagebeziehung zwischen $h_{- 4}$ und $g$ zusätzlich in Worten
  1. Die Geraden $h_{- 4}$ und $g$ sind nicht parallel zueinander, da die Richtungsvektoren offensichtlich linear unabhängig sind.
  2. Die Geraden $h_{- 4}$ und $g$ schneiden sich nicht, da die Gerade $h_{- 4}$ echt parallel zur Ebene $E$ verläuft und $g$ in $E$ liegt.
  3. $h_{- 4}$ und $g$ sind windschief zueinander.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Teil 1
  Ist das Skalarprodukt der Vektoren ${\vec{n}}_{E} \circ {\vec{u}}_{h_{- 4}}$ gleich null, dann stehen sie senkrecht aufeinander und $h_{- 4}$ verläuft parallel zu $E$ .
  Alternativ: Berechne $h_{- 4} \cap E$ .
  Teil 2
  Fertige eine Skizze an. Die Gerade $h_{- 4}$ verläuft echt parallel zur Ebene $E$ und $g \in E$ .
  Teil 3
  Wie nennt man zwei Geraden, die nicht parallel verlaufen und sich nicht schneiden?
2
Die Abbildung zeigt modellhaft einen Teil eines Klettergerüsts auf einem Spielplatz, das in einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ beschrieben wird. Die Fußpunkte der Stützen des Klettergerüsts liegen in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene und dazu parallel die rechteckige Plattform $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ . Über ein dreieckiges Netz, das an den Punkten $N_{1}$ , $N_{2}$ und $N_{3}$ fixiert ist, können die Kinder auf die Plattform $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ klettern. Folgende Punkte sind gegeben: $P_{1} (1,8 | 1,2 | 1,5)$ , $P_{2} (0 | 1,2 | 1,5),$ $P_{3} (0 | 0 | 1,5)$ und $N_{3} (0,9 | 3,6 | 0)$ . Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter. Auf die Mitführung der Einheiten kann verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $P_{4}$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren addieren und subtrahieren
  Gib die Koordinaten des Punktes $P_{4}$ an
  $\vec{O P_{4}} = \vec{O P_{1}} + \vec{P_{2} P_{3}} = (\begin{array}{c} 1,8 \\ 1,2 \\ 1,5 \end{array}) + ((\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 1,2 \\ 1,5 \end{array})) = (\begin{array}{c} 1,8 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}) \Rightarrow P_{4} (1,8 | 0 | 1,5)$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Berechne $\vec{O P_{4}} = \vec{O P_{1}} + \vec{P_{2} P_{3}}$ .
2. Das Netz ist in den Punkten $N_{1}$ und $N_{2}$ befestigt, die jeweils $10 c m$ senkrecht unter den Punkten $P_{1}$ und $P_{2}$ liegen. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Netzes.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks
  Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des Netzes
  Bekannt: Das Netz ist in den Punkten $N_{1}$ und $N_{2}$ befestigt, die jeweils $10 c m$ senkrecht unter den Punkten $P_{1}$ und $P_{2}$ liegen. $\Rightarrow P_{1} (1,8 | 1,2 | 1,5 - 0,1) = N_{1} (1,8 | 1,2 | 1,4)$ und $P_{2} (0 | 1,2 | 1,5 - 0,1) = N_{2} (0 | 1,2 | 1,4)$
  Weiterhin ist $N_{3} (0,9 | 3,6 | 0)$ .
  $A = \frac{1}{2} \cdot | \vec{N_{1} N_{2}} \times \vec{N_{1} N_{3}} |$
  $\vec{N_{1} N_{2}} = \vec{O N_{2}} - \vec{O N_{1}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1,2 \\ 1,4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1,8 \\ 1,2 \\ 1,4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1,8 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
  $\vec{N_{1} N_{3}} = \vec{O N_{3}} - \vec{O N_{1}} = (\begin{array}{c} 0,9 \\ 3,6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1,8 \\ 1,2 \\ 1,4 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 0,9 \\ 2,4 \\ - 1,4 \end{array})$
  $\vec{N_{1} N_{2}} \times \vec{N_{1} N_{3}} = (\begin{array}{c} - 1,8 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 0,9 \\ 2,4 \\ - 1,4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2,52 \\ - 4,32 \end{array})$
  $| \vec{N_{1} N_{2}} \times \vec{N_{1} N_{3}} | = | (\begin{array}{c} 0 \\ - 2,52 \\ - 4,32 \end{array}) | = \sqrt{0^{2} + (- 2,52)^{2} + (- 4,32)^{2}} = \sqrt{{(\frac{252}{100})}^{2} + {(\frac{432}{100})}^{2}} =$
  $\frac{\sqrt{252^{2} + 432^{2}}}{100} = \frac{\sqrt{250128}}{100} = \frac{\sqrt{1296 \cdot 193}}{100} = \frac{36}{100} \cdot \sqrt{193} = \frac{9}{25} \cdot \sqrt{193}$
  $\Rightarrow A = \frac{1}{2} \cdot | \vec{N_{1} N_{2}} \times \vec{N_{1} N_{3}} | = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{25} \cdot \sqrt{193} \approx 2,5$
  Die Maßzahl des Flächeninhalts des Netzes beträgt rund $2,5 m^{2}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Berechne $A = \frac{1}{2} \cdot | \vec{N_{1} N_{2}} \times \vec{N_{1} N_{3}} |$ .
3. Bestimmen Sie den Winkel zwischen dem Netz und der $x_{1} x_{2}$ -Ebene.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
  Bestimme den Winkel zwischen dem Netz und der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
  Nach Aufgabe b) ist ${\vec{n}}_{△} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2,52 \\ - 4,32 \end{array})$ und $| {\vec{n}}_{△} | = \frac{9}{25} \cdot \sqrt{193}$ .
  Weiterhin ist ${\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
  $\cos φ = \frac{| {\vec{n}}_{△} \circ \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}{| {\vec{n}}_{△} | \cdot | \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |} = \frac{| (\begin{array}{c} 0 \\ - 2,52 \\ - 4,32 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) |}{\frac{9}{25} \cdot \sqrt{193} \cdot 1} = \frac{| - 4,32 |}{\frac{9}{25} \cdot \sqrt{193}} = \frac{4,32}{\frac{9}{25} \cdot \sqrt{193}}$
  $φ = \cos^{- 1} (\frac{4,32}{\frac{9}{25} \cdot \sqrt{193}}) \approx 30,26 °$
  Der Winkel zwischen dem Netz und der $x_{1} x_{2}$ -Ebene beträgt rund 30,26°.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Nach Aufgabe b) ist ${\vec{n}}_{△} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 2,52 \\ - 4,32 \end{array})$ und ${\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
  Berechne $\cos φ = \frac{| {\vec{n}}_{△} \circ \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}{| {\vec{n}}_{△} | \cdot | \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Ermittle je eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und Koordinatenform

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme den Wert von k so, dass sich die Geraden g und hk in einem Punkt S schneiden

Berechne die Koordinaten dieses Schnittpunktes S

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass die Gerade h−4 echt parallel zur Ebene E verläuft

Formuliere die Lagebeziehung zwischen h−4 und g zusätzlich in Worten

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib die Koordinaten des Punktes P4 an

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des Netzes

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme den Winkel zwischen dem Netz und der x1x2-Ebene

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ermittle je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter- und Koordinatenform

Bestimme den Wert von $k$ so, dass sich die Geraden $g$ und $h_{k}$ in einem Punkt $S$ schneiden

Berechne die Koordinaten dieses Schnittpunktes $S$

Zeige, dass die Gerade $h_{- 4}$ echt parallel zur Ebene $E$ verläuft

Formuliere die Lagebeziehung zwischen $h_{- 4}$ und $g$ zusätzlich in Worten

Gib die Koordinaten des Punktes $P_{4}$ an

Bestimme den Winkel zwischen dem Netz und der $x_{1} x_{2}$ -Ebene