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Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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  1. 1

    In einem kartesischen Koordinatensystem des R3\mathbb{R}^3 sind der Punkt A(2∣–1∣–4)A(2|–1|–4) sowie die Geraden

    g: x⃗=(40−3)+α(212)\vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ 0\\ -3 \end{pmatrix}+\alpha\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} und hkh_k: x⃗=(4,54−1)+ÎŒ(k−22)\vec x=\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} k \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} mit α,ÎŒ,k∈R\alpha, \mu, k \in \mathbb{R} gegeben.

    Es gilt A∉gA\notin g. Somit legen der Punkt AA und die Gerade gg eine Ebene EE fest.

    1. Ermitteln Sie je eine Gleichung der Ebene EE in Parameter-und Koordinatenform.

      [ Mögliches Teilergebnis: E: x1−2x2−4=0]x_1-2x_2-4=0 ]

    2. Bestimmen Sie den Wert von kk so, dass sich die Geraden gg und hkh_k in einem Punkt SS schneiden und berechnen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes SS.

    3. FĂŒr k=−4k=-4 ergibt sich die Gerade h4h_4: x⃗=(4,54−1)+ÎŒ(−4−22)\vec x=\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}

      Zeigen Sie, dass die Gerade h−4h_{-4} echt parallel zur Ebene EE verlĂ€uft. Fertigen Sie ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine aussagekrĂ€ftige Skizze an, aus der die gegenseitige Lage von EE sowie der beiden Geraden h4h_4 und gg klar hervorgeht. Formulieren Sie die Lagebeziehung zwischen h4h_4 und gg zusĂ€tzlich in Worten.

  2. 2

    Die Abbildung zeigt modellhaft einen Teil eines KlettergerĂŒsts auf einem Spielplatz, das in einem kartesischen Koordinatensystem des R3\mathbb{R}^3 beschrieben wird. Die Fußpunkte der StĂŒtzen des KlettergerĂŒsts liegen in der x1x2x_1x_2-Ebene und dazu parallel die rechteckige Plattform P1P2P3P4P_1P_2P_3P_4. Über ein dreieckiges Netz, das an den Punkten N1N_1, N2N_2und N3N_3 fixiert ist, können die Kinder auf die Plattform P1P2P3P4P_1P_2P_3P_4 klettern. Folgende Punkte sind gegeben: P1(1,8∣1,2∣1,5) P_1(1{,}8|1{,}2|1{,}5), P2(0∣1,2∣1,5P_2(0|1{,}2|1{,}5), P3(0∣0∣1,5)P_3(0|0|1{,}5) und N3(0,9∣3,6∣0)N_3(0{,}9|3{,}6|0). Die Koordinaten der Punkte sind LĂ€ngenangaben in der Einheit Meter.

    Auf die MitfĂŒhrung der Einheiten kann verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.

    Bild
    1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes P4P_4 an.

    2. Das Netz ist in den Punkten N1N_1 und N2N_2 befestigt, die jeweils 10 cm10~ cm senkrecht unter den Punkten P1P_1 und P2P_2 liegen. Berechnen Sie die Maßzahl des FlĂ€cheninhalts des Netzes.

    3. Bestimmen Sie den Winkel zwischen dem Netz und der x1x2x_1x_2-Ebene.


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