Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

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1
In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ sind der Punkt $A(2|–1|–4)$ sowie die Geraden
g: $\vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ 0\\ -3 \end{pmatrix}+\alpha\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $h_k$ : $\vec x=\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} k \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ mit $\alpha, \mu, k \in \mathbb{R}$ gegeben.
Es gilt $A\notin g$ . Somit legen der Punkt $A$ und die Gerade $g$ eine Ebene $E$ fest.
1. Ermitteln Sie je eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameter-und Koordinatenform.
  [ Mögliches Teilergebnis: E: $x_1-2x_2-4=0 ]$
2. Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass sich die Geraden $g$ und $h_k$ in einem Punkt $S$ schneiden und berechnen Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes $S$ .
3. Für $k=-4$ ergibt sich die Gerade $h_4$ : $\vec x=\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ 4\\ -1 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$
  Zeigen Sie, dass die Gerade $h_{-4}$ echt parallel zur Ebene $E$ verläuft. Fertigen Sie ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine aussagekräftige Skizze an, aus der die gegenseitige Lage von $E$ sowie der beiden Geraden $h_4$ und $g$ klar hervorgeht. Formulieren Sie die Lagebeziehung zwischen $h_4$ und $g$ zusätzlich in Worten.
2
Die Abbildung zeigt modellhaft einen Teil eines Klettergerüsts auf einem Spielplatz, das in einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ beschrieben wird. Die Fußpunkte der Stützen des Klettergerüsts liegen in der $x_1x_2$ -Ebene und dazu parallel die rechteckige Plattform $P_1P_2P_3P_4$ . Über ein dreieckiges Netz, das an den Punkten $N_1$ , $N_2$ und $N_3$ fixiert ist, können die Kinder auf die Plattform $P_1P_2P_3P_4$ klettern. Folgende Punkte sind gegeben: $P_1(1{,}8|1{,}2|1{,}5)$ , $P_2(0|1{,}2|1{,}5$ ), $P_3(0|0|1{,}5)$ und $N_3(0{,}9|3{,}6|0)$ . Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter.
Auf die Mitführung der Einheiten kann verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $P_4$ an.
2. Das Netz ist in den Punkten $N_1$ und $N_2$ befestigt, die jeweils $10~ cm$ senkrecht unter den Punkten $P_1$ und $P_2$ liegen. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Netzes.
3. Bestimmen Sie den Winkel zwischen dem Netz und der $x_1x_2$ -Ebene.

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