Lineares Gleichungssystem lösen

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet alle Variablen so zu bestimmen, dass alle Gleichungen des Systems erfüllt werden. Es gibt verschiedene Verfahren, ein Gleichungssystem zu lösen.

Lösungsverfahren:

Gleichsetzungsverfahren:

Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf und setze die Ergebnisse gleich.

Einsetzungsverfahren:

Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein.

Additionsverfahren:

Multipliziere eine oder beide Gleichungen so, dass die Koeffizienten einer Variable entgegengesetzt sind und addiere dann die Gleichungen.

Grafische Lösung:

Zeichne die Geraden, die den Gleichungen entsprechen, und der Schnittpunkt ist die Lösung.

1. Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren:

$\mathrm{I}6x-3y=15$

$\mathrm{II}6x-8y=10$

Löse Gleichung $\mathrm{I}$ und Gleichung $\mathrm{II}$ nach $6x$ auf.

${\mathrm{I}}^{\prime }6x=15+3y$

$\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }6x=10+8y$

Da jetzt bei ${\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ die linken Seiten gleich sind, müssen auch die rechten Seiten gleich sein, also folgt:

$15+3y=10+8y$ $\Rightarrow$Diesen Schritt nennt man "Gleichsetzen".

Löse nach $y$ auf:

Setze $y=1$ z.B. in Gleichung ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein$\Rightarrow 6x=15+3\cdot 1=18\Rightarrow x=3$.

Gib die Lösungsmenge an:

$𝕃=\{3;1\}$

2. Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

$\mathrm{I}6x-3y=15$

$\mathrm{II}6x-8y=10$

Löse Gleichung $\mathrm{I}$ nach $6x$ auf:

${\mathrm{I}}^{\prime }6x=15+3y$

Setze ${\mathrm{I}}^{\prime }$ in $\mathrm{II}$ ein:

Setze $y=1$ z.B. in Gleichung ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein$\Rightarrow 6x=15+3\cdot 1=18\Rightarrow x=3$.

Gib die Lösungsmenge an:

$𝕃=\{3;1\}$

3. Lösung mit dem Additionsverfahren:

$\mathrm{I}6x-3y=15$

$\mathrm{II}6x-8y=10$

Subtrahiere I-II:

Setze $y=1$ z.B. in $\mathrm{I}$ ein:$\Rightarrow$ $6x-3\cdot 1=15\Rightarrow 6x=18\Rightarrow x=3$

Gib die Lösungsmenge an:

$𝕃=\{3;1\}$

4. Grafische Lösung

$\mathrm{I}6x-3y=15$

$\mathrm{II}6x-8y=10$

Löse Gleichung $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ jeweils nach $y$ auf:

$\mathrm{I}6x-3y=15\Rightarrow 6x-15=3y\Rightarrow y=2x-5$

$\mathrm{II}6x-8y=10\Rightarrow 6x-10=8y\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{5}{4}}$

Der Schnittpunkt der beiden Geraden $S(3|1)$ ist die Lösung des Gleichungssystems.