Prognoseintervalle

1 Prognoseintervalle für Erwartungswerte

Schluss von der Gesamtheit auf ein Stichprobenergebnis

Die Trefferwahrscheinlichkeit $pp$ in einer Gesamtheit ist vorgegeben. Dann kann man eine Prognose (Vorhersage) über die Trefferzahl $XX$ in einer hinreichend großen Stichprobe der Größe $nn$ angeben.

Dabei gibt man neben der Umgebung des Erwartungswertes $\mu \backslash mu$ der Trefferzahl auch die Wahrscheinlichkeit (Sicherheitswahrscheinlichkeit $\gamma \backslash gamma$⁣) an, mit der die Trefferzahl in diese Umgebung des Erwartungswertes fallen wird.

Vorausgesetzt wird, dass $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}>3\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\backslash cdot\; (1-p)\}>3$ ist (Laplace-Bedingung).

Dann gilt für binomialverteilte Zufallsgrößen $XX$:

Prognoseintervalle für die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeit $pp$

Wenn $XX$ in einer $\sigma \backslash sigma$-Umgebung von $\mu \backslash mu$ liegt, dann gilt:

$\mid X-\mu \mid \le \sigma \iff \mid X-n\cdot p\mid \le \sigma \iff \mid {\displaystyle \frac{X}{n}}-p\mid \le {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}\backslash left|\{X\}-\backslash mu\backslash right|\backslash leq\backslash sigma\backslash ;\backslash Leftrightarrow\; \backslash left|\{X\}-n\backslash cdot\; p\backslash right|\backslash leq\backslash sigma\; \backslash ;\backslash Leftrightarrow\; \backslash left|\backslash dfrac\{X\}\{n\}-\; p\backslash right|\backslash leq\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}$

Also gilt:

${\displaystyle \frac{X}{n}}\backslash dfrac\{X\}\{n\}$ liegt in einer ${\displaystyle \frac{\sigma }{n}}\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}$-$~$Umgebung von $pp$.

Die Werte von ${\displaystyle \frac{X}{n}}\backslash dfrac\{X\}\{n\}$ fallen zu etwa $\mathrm{68,3}\mathrm{\%}68\{,\}3\backslash ;\backslash \%$ in das Intervall $[p-{\displaystyle \frac{\sigma }{n}};p+{\displaystyle \frac{\sigma }{n}}]\backslash left[p-\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\};p+\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}\backslash right]$,

zu etwa $\mathrm{95,5}\mathrm{\%}95\{,\}5\backslash ;\backslash \%$ in das Intervall $[p-2\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}};p+2\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}]\backslash left[p-2\backslash cdot\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\};p+2\backslash cdot\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}\backslash right]$ und

zu etwa $\mathrm{99,7}\mathrm{\%}99\{,\}7\backslash ;\backslash \%$ in das Intervall $[p-3\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}};p+3\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{n}}]\backslash left[p-3\backslash cdot\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\};p+3\backslash cdot\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}\backslash right]$.

Intervalle für andere Wahrscheinlichkeiten

Intervalle der Form $[\mu -c\cdot \sigma ;\mu +c\cdot \sigma ][\backslash mu-c\backslash cdot\; \backslash sigma;\backslash mu+c\backslash cdot\; \backslash sigma]$ oder $[p-{\displaystyle \frac{\sigma }{n}};p+{\displaystyle \frac{\sigma }{n}}]\backslash left[p-\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\};p+\backslash dfrac\{\backslash sigma\}\{n\}\backslash right]$ können auch für andere Sicherheitswahrscheinlichkeiten $\gamma \backslash gamma$⁣ angegeben werden.

$cc$ ist hierbei ein Faktor, der die Intervallgröße so festlegt, damit eine bestimmte Sicherheitswahrscheinlichkeit $\gamma \backslash gamma$ garantiert wird.

2 Prognoseintervalle für absolute bzw. relative Häufigkeiten

Bei den Prognoseintervallen für den Erwartungswert hat man eine Doppelungleichung erhalten. Aus dieser Doppelungleichung folgt ebenso eine Doppelungleichung für Prognoseintervalle absoluter bzw. relativer Häufigkeiten $hh$.

Es gilt: $p-c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}\le h\le p+c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}p-c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p(1-p)\}\{n\}\}\backslash leq\; h\backslash leq\; p+c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p(1-p)\}\{n\}\}$

Für eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\mathrm{\%}95\backslash ;\backslash \%$ ist $c=\mathrm{1,96}c=1\{,\}96$ und es folgt:

$P(p-\mathrm{1,96}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}\le h\le p+\mathrm{1,96}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}})\approx 95\mathrm{\%}P\backslash left(p-1\{,\}96\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p(1-p)\}\{n\}\}\backslash leq\; h\backslash leq\; p+1\{,\}96\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p(1-p)\}\{n\}\}\backslash right)\backslash approx95\backslash ;\backslash \%$

Man kann somit vor einem Bernoulliversuch vorhersagen, dass bei einer gegebenen (als wahr angenommenen) Wahrscheinlichkeit $pp$ die relative Häufigkeit eines Merkmals in einer Stichprobe vom Umfang $nn$ mit $95\mathrm{\%}95\backslash ;\backslash \%$-Wahrscheinlichkeit im Prognoseintervall $[p-\mathrm{1,96}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}};p+\mathrm{1,96}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}]\backslash left[p-1\{,\}96\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p(1-p)\}\{n\}\};\backslash ;\; p+1\{,\}96\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p(1-p)\}\{n\}\}\backslash right]$ liegen wird.

3 Die Länge des Prognoseintervalls

Allgemein gilt für das Prognoseintervall: $[p-c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}};p+c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}]\backslash left[p-c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p(1-p)\}\{n\}\};\backslash ;\; p+c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{p(1-p)\}\{n\}\}\backslash right]$.

Dann hat das Prognoseintervall die Länge $l(n)=2\cdot c\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}l(n)=2\backslash cdot\; c\backslash cdot\; \backslash dfrac\{\backslash sqrt\{p(1-p)\}\}\{\backslash sqrt\{n\}\}$.

Das Prognoseintervall kann noch nach oben abgeschätzt werden, wenn man berücksichtigt, dass $f(p)=p(1-p)f(p)=p(1-p)$ für $p=\mathrm{0,5}p=0\{,\}5$ maximal wird.

Dann ergibt sich für das Prognoseintervall eine Abschätzung durch:

$[p-c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}{n}}};p+c\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}{n}}}]\Rightarrow [p-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}c}{\sqrt{n}}};p+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}c}{\sqrt{n}}}]\backslash left[p-c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{0\{,\}5\backslash cdot\; 0\{,\}5\}\{n\}\};\backslash ;\; p+c\backslash cdot\; \backslash sqrt\{\backslash dfrac\{0\{,\}5\backslash cdot\; 0\{,\}5\}\{n\}\}\backslash right]\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash left[p-\backslash dfrac\{0\{,\}5c\}\{\backslash sqrt\{n\}\};\backslash ;\; p+\backslash dfrac\{0\{,\}5c\}\{\backslash sqrt\{n\}\}\backslash right]$

Für die Intervalllänge folgt dann:

Für einen festen Wert von $pp$ ist die Länge des Prognoseintervalls proportional zu ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{n\}\}$.

Man spricht auch vom ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{n\}\}$-Gesetz.