Bernoulli-Experiment

Beispiele

1. Münzwurf: $P(\text{„Kopf“})=0{,}5:=p$ $P(\text{„Zahl“})=0{,}5=1-p.$ Man kann auch $P(\text{„Zahl“})$ als $p$ definieren.

2. Maschinen testen: $P(\text{„Maschine funktioniert“}):=p$ $P(\text{„Maschine funktioniert nicht“})=1-p$.

3. Würfel: $P(\text{„Die 6 fällt“}):=p=\frac16$ $P(\text{„Die 6 fällt nicht“})=1-p=\frac56$

Bernoulli-Verteilung

Definition

Für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable $X$ mit Eintrittswahrscheinlichkeit $p$ gilt

$\mathit\Omega=\left\{0;1\right\},$

$P(X=1)=p;\;\;\;\;P(X=0)=1-p$

Erwartungswert

Für den Erwartungswert der Bernoulli-verteilten Zufallsvariable $X$ gilt

${E(X)=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p}$

Varianz

Für die Varianz erhält man

$V(X)=E\left(\left(X-E(X)\right)^2\right)=E\left(\left(X-p\right)^2\right)=E\left(\mathrm{X}^2-2pX+p^2\right)=\\E\left(\mathrm{X}^2\right)-E\left(2pX\right)+p^2=E(X)^2-2p\cdot E(X)+p^2=p-p^2=p(1-p)$

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion für $X$ lautet

Es gibt nur zwei Ereignisse. Das Ereignis „$0$“ tritt mit Wahrscheinlichkeit $1-p$ ein und ab $t=1$ sind beide Ereignisse sicher eingetreten, weshalb dann $F(t)=1$ gilt.

Aufgabe:

Wenn eine gesunde Person von einem Zombie gebissen wird, verwandelt sie sich mit $85$-prozentiger Wahrscheinlichkeit innerhalb von $5$ Minuten ebenfalls in einen Zombie.

Bestimme die Zufallsvariable, den Erwartungswert und die Varianz.

Lösung:

Zufallsvariable $X$: $X(x) = \begin{cases} 0, & \text{wenn }x = \text{keine Verwandlung},\\ 1, & \text{wenn }x = \text{Verwandlung in Zombie}. \end{cases}$

Erwartungswert $E$: $E(X) = p = P(X=1)=0{,}85$

Varianz $V(X)$: $V(X)=p\cdot(1-p)=0{,}85\cdot0{,}15=0{,}1275$

Verhältnis zu anderen Verteilungen

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung mit $n=1$.

Wiederholt man also ein Bernoulli-Experiment öfter und betrachtet alle Ergebnisse, so sind diese binomialverteilt.

Wiederholte Bernoulli-Experimente

Wird ein Bernoulli-Experiment öfter wiederholt, so spricht man von einem Bernoulli-Prozess oder einer Bernoulli-Kette.