Bernoulli-Experiment

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Versuchsausgängen (= Ergebnissen).

Für ein Bernoulli-Experiment wird eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable XX betrachtet. Diese Zufallsvariable lässt nur zwei mögliche Ereignisse (z. B. „ja“/„nein“, „infiziert“/„nicht infiziert“) mit den Wahrscheinlichkeiten pp und q:=1pq:=1-p zu.

Benannt ist das Bernoulli-Experiment nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I. Bernoulli (gest. 1705).

Beispiele

  1. Münzwurf: P(„Kopf“)=0,5:=pP(\text{„Kopf“})=0{,}5:=p P(„Zahl“)=0,5=1p.P(\text{„Zahl“})=0{,}5=1-p. Man kann auch P(„Zahl“)P(\text{„Zahl“}) als pp definieren.

  2. Maschinen testen: P(„Maschine funktioniert“):=pP(\text{„Maschine funktioniert“}):=p P(„Maschine funktioniert nicht“)=1pP(\text{„Maschine funktioniert nicht“})=1-p.

  3. Würfel: P(„Die 6 fa¨llt“):=p=16P(\text{„Die 6 fällt“}):=p=\frac16 P(„Die 6 fa¨llt nicht“)=1p=56P(\text{„Die 6 fällt nicht“})=1-p=\frac56

Bernoulli-Verteilung

Definition

Für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable XX mit Eintrittswahrscheinlichkeit pp gilt

Ω={0;1},\mathit\Omega=\left\{0;1\right\},

P(X=1)=p;        P(X=0)=1pP(X=1)=p;\;\;\;\;P(X=0)=1-p

Erwartungswert

Für den Erwartungswert der Bernoulli-verteilten Zufallsvariable XX gilt

E(X)=1p+0(1p)=p{E(X)=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p}

Varianz

Für die Varianz erhält man

V(X)=E((XE(X))2)=E((Xp)2)=E(X22pX+p2)=E(X2)E(2pX)+p2=E(X)22pE(X)+p2=pp2=p(1p){V(X)=E\left(\left(X-E(X)\right)^2\right)=E\left(\left(X- p\right)^2\right)=E\left(\mathrm X^2-2pX+ p^2\right)=E\left(\mathrm X^2\right)-E\left(2 pX\right)+p^2=E(X)^2-2 p\cdot E(X)+p^2=p-p^2=p(1- p)}

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion für XX lautet

Es gibt nur zwei Ereignisse. Das Ereignis „0“ tritt mit Wahrscheinlichkeit 1p1-p ein und ab t=1t=1 sind beide Ereignisse sicher eingetreten, weshalb dann F(t)=1F(t)=1 gilt.

Aufgabe:

Wenn eine gesunde Person von einem Zombie gebissen wird, verwandelt sie sich mit 85-prozentiger Wahrscheinlichkeit innerhalb von 5 Minuten ebenfalls in einen Zombie.

Bestimme die Zufallsvariable, den Erwartungswert und die Varianz.

Lösung:

Zufallsvariable XX: X(x)={0,wenn x=keine Verwandlung,1,wenn x=Verwandlung in Zombie.X(x) = \begin{cases} 0, & \text{wenn }x = \text{keine Verwandlung},\\ 1, & \text{wenn }x = \text{Verwandlung in Zombie}. \end{cases}

Erwartungswert EE: E(X)=p=P(X=1)=0,85E(X) = p = P(X=1)=0{,}85

Varianz V(X)V(X): V(X)=p(1p)=0,850,15=0,1275V(X)=p\cdot(1-p)=0{,}85\cdot0{,}15=0{,}1275

Verhältnis zu anderen Verteilungen

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung mit n=1n=1.

Wiederholt man also ein Bernoulli-Experiment öfter und betrachtet alle Ergebnisse, so sind diese binomialverteilt.

  

Wiederholte Bernoulli-Experimente

Wird ein Bernoulli-Experiment öfter wiederholt, so spricht man von einem Bernoulli-Prozess oder einer Bernoulli-Kette.

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