Bernoulli-Kette

Wird ein Bernoulli-Experiment (d. h. ein Experiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen) n-mal voneinander unabhängig wiederholt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p genau k Treffer zu erhalten, wird mit B(n;p;k){{B}(n;p;k)} abgekürzt; sie lässt sich wie folgt berechnen:

Andere Schreibweisen für B(n;p;k)B(n;p;k) sind Bn,p,k{B}_{n,p,k} oder Bn,p(k){B}_{n,p}\left(k\right). Für wichtige n und p sind die Wahrscheinlichkeiten B(n;p;k){B}(n;p;k) im Tafelwerk (oder Tabellenwerk) der Stochastik verzeichnet.

Die zu einer Bernoulli-Kette gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung .

Bernoulli-Kette erkennen

Damit eine Bernoulli-Kette vorliegt und die Binomialverteilung angewandt werden darf, müssen drei Kennzeichen erfüllt sein:

  1. Beim Einzel-Experiment gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse.

  2. Das Einzel-Experiment wird n-mal voneinander unabhängig wiederholt, d. h. die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse verändert sich in den verschiedenen Stufen nicht.

  3. Damit die Formel der Binomialverteilung angewandt werden darf: Nur die Anzahl der Treffer interessiert, und nicht, an welchen Stellen die Treffer auftreten.

Wenn eine Bernoulli-Kette vorliegt, muss man festlegen, welches der beiden Ergebnisse „Treffer“ sein soll. (Grundsätzlich sind beide Ergebnisse als Treffer möglich, aber man muss sich für eines der beiden entscheiden.). Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses ist dann die Trefferwahrscheinlichkeit p.

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette

Liegt eine Bernoulli-Kette vor, und bezeichnet XX die Anzahl der Treffer der Bernoulli-Kette, so gilt:

Dabei ist nn die Länge der Bernoulli-Kette, pp die Trefferwahrscheinlichkeit und kk die Anzahl der Treffer.

Anmerkung:

(nk)\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} bezeichnet den Binomialkoeffizientenkk aus nn“ oder „nn über kk“. Er lässt sich mit dem Taschenrechner, mit der Tastenfolge n  nCr  kn\;\boxed{\mathrm{nCr}}\;k oder über die Formel  (nk)=n!k!(nk)!\begin{pmatrix} n\\ k\end{pmatrix}=\frac{n!}{ k!\left( n-k\right)!} berechnen.

Beispiel zur Berechnung mit der Binomialverteilung

B(100;0,7;65)B(100;0{,}7;65) ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Bernoulli-Kette der Länge n=100n=100 mit Trefferwahrscheinlichkeit p=0,7p=0{,}7 genau k=65k=65 Treffer zu erhalten. Es gilt:

(auszurechnen mit dem Taschenrechner oder zu entnehmen aus dem Tabellenwerk)

Verteilungsfunktion

Während die Wahrscheinlichkeitsfunktion die Frage beantwortet, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau k Treffer auftreten, beantwortet die Verteilungsfunktion die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens k Treffer auftreten.

d. h. die einzelnen Wahrscheinlichkeiten B(n;p;i)B(n;p; i) müssen von i=0i=0 bis i=ki=k aufsummiert werden.

Nur in einfachen Fällen kann man diese Wahrscheinlichkeiten von Hand bzw. mit dem Taschenrechner selbst aufsummieren. Zumeist muss man den Wert der Verteilungsfunktion im Tafelwerk nachschauen.

Beispiel:

Für die Wahrscheinlichkeit F0,7100(65)=i=065 B(100;0,7;i)F_{0{,}7}^{100}\left(65\right)=\sum_{ i=0}^{65}\ B\left(100;0{,}7;\mathrm i\right), bei einer Bernoulli-Kette der Länge 100 mit Trefferwahrscheinlichkeit 0,7 höchstens 65 Treffer zu erhalten, entnimmt man dem Tabellenwerk :

 

Bernoulli-Kette hinterfragen

Manchmal wird in Aufgaben verlangt, dass man kritisch hinterfragt, ob die Annahme, dass eine Bernoulli-Kette vorliegt, überhaupt gerechtfertigt ist.

Mögliche Ansatzpunkte:

  • Sind die einzelnen Teilexperimente wirklich voneinander unabhängig (gegenseitige Beeinflussung der einzelnen Versuchsdurchführungen o. Ä.)? Bei Experimenten „Ziehen ohne Zurücklegen“ ist das zum Beispiel keine gerechtfertigte Annahme.

  • Ändert sich die Wahrscheinlichkeit für „Treffer“ möglicherweise während der Durchführung der Bernoulli-Kette (Abnutzungserscheinungen bei Materialien, Lerneffekte bei Versuchspersonen o. Ä.)?

  • Gibt es außer den beiden Ergebnisse vielleicht noch „Ausnahmefälle“, bei denen nicht klar ist, ob sie als Treffer oder Niete zu werten sind?

Übungsaufgaben

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Aufgaben zu Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

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