Dreimal-Mindestens-Aufgaben

In diesem Artikel wird anhand eines Beispiels der Aufgabentyp "Dreimal-Mindestens-Aufgaben" erklärt.

Dreimal-Mindestens-Aufgaben

Dreimal-Mindestens-Aufgaben (oder 3-Mindestens-Aufgaben) erkennt man häufig sofort, wenn man die Fragestellung liest. Diese erhält nämlich dreimal Worte wie "mindestens", "mehr als" oder "wenigstens".

Ziel ist es hier meistens, die minimale Anzahl an Versuchsdurchläufen herauszufinden (Wie oft muss ich mindestens drehen, treffen, werfen, ziehen…), um mindestens einen gewünschten Versuchsausgang (mindestens ein Gewinnfeld, Torschuss, 6er Pasch, Hauptgewinn) zu erreichen.

Diese Aufgaben lassen sich auf die immer gleiche Weise lösen, sobald man die relevanten Zahlen aus der Aufgabenstellung herausgelesen hat.

Zwei Wahrscheinlichkeiten in einer Aufgabe?

Bei 3-Mindestens-Aufgaben stößt man auf zwei verschiedene Wahrscheinlichkeitsangaben:

Die Trefferwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, mit der man bei einmaligem Ausführen des Versuchs einen Treffer erzielt. Diese bleibt immer gleich, egal wie oft man den Versuch ausführt. Also zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit bei einmaligem Werfen einer Münze einen Kopf zu erhalten oder beim einmaligen Ziehen eines Loses einen Gewinn zu bekommen.
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist die Wahrscheinlichkeit, mit der man nach mehrmaligem Ausführen des Versuchs mindestens einen Treffer hat. Werfe ich zehnmal oder ziehe ich zehn Lose, so gibt mir diese zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit an, wie wahrscheinlich es ist, dass ich mindestens einmal Kopf geworfen habe oder mindestens ein Gewinnlos gezogen habe.

Übung:

Versuche jeweils, die Treffer- und die Gesamtwahrscheinlichkeit zu finden!

Tim ist ein sehr guter Torwart und hält in 80 Prozent der Fälle einen Elfmeter. Wie oft muss sein Freund mindestens auf das Tor schießen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent mindestens einmal zu treffen?
Tina pflanzt rote und gelbe Tulpenzwiebeln. Leider lagert sie beide Sorten in einer Kiste und die Zwiebeln sehen identisch aus! Tina weiß lediglich, dass sie dreimal so viele rote Tulpen hat wie gelbe. Wie viele Tulpenzwiebeln muss Tina nun mindestens aussähen, damit sie mit mindestens 80 Prozent Wahrscheinlichkeit mindestens eine gelbe Tulpe pflanzt?

Gegenereignis verwenden

Will man die Wahrscheinlichkeit davon wissen, mindestens einen Treffer zu haben, ist es einfacher, das Gegenereignis zu betrachten, nämlich das man keinen Treffer hat. Diese ist oft einfach zu berechnen. Dann gilt: $P(\text{"mind. ein Treffer"})= 1- P(\text{"kein Treffer"})$

3-Mindestens-Aufgaben am Beispiel lösen

Nachdem man die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ und die Gesamtwahrscheinlichkeit $P$ identifiziert hat, kann man beginnen, die Aufgabe zu lösen. Nehmen wir die erste Aufgabe von oben:

gesucht: Anzahl der Schüsse $n$ gegeben: Torschusswahrscheinlichkeit $p=0{,}2$ und $P(\text{"mind ein Tor"})\geqq 0{,}9$

$\displaystyle P\left("\text{min. ein Tor}"\right)$	$≥$	$\displaystyle 0{,}9$
	↓	Verwende das Gegenereignis
$\displaystyle 1-P\left(\text{"kein Tor"}\right)$	$≥$	$\displaystyle 0{,}9$
	↓	Die Wahrscheinlichkeit, immer daneben zu schießen, entspricht im Baumdiagramm dem Pfad, der bei $n$ Schüssen $n$ -Mal zum "Nicht-Treffer" geht.
$\displaystyle 1-\left(1-0{,}2\right)^n$	$≥$	$\displaystyle 0{,}9$
	↓	Die Wahrscheinlichkeit, nicht zu treffen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Tim hält, also $p=0{,}8$ .
$\displaystyle 1-\left(0{,}8\right)^n$	$≥$	$\displaystyle 0{,}9$	$\displaystyle -1$
	↓	Forme diese Gleichung um.
$\displaystyle -\left(0{,}8\right)^n$	$≥$	$\displaystyle -0{,}1$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
	↓	Multiplikation mit negativer Zahl dreht das Ungleichheitszeichen um.
$\displaystyle \left(0{,}8\right)^n$	$≤$	$\displaystyle 0{,}1$
	↓	Verwende den Logarithmus, um das $n$ aus dem Exponenten zu bekommen. Achte darauf: Die Basis zum Exponenten $n$ (also die $0{,}8$ ) wird die Basis des Logarithmus. Hierbei dreht sich das Ungleichheitszeichen erneut um.
$\displaystyle n$	$≥$	$\displaystyle \log_{0{,}8}\left(0{,}1\right)$
	↓	Berechne den Logarithmus.
$\displaystyle n$	$≥$	$\displaystyle 10{,}318...$

Es wurde nach der Mindestanzahl an Schüssen gefragt, deshalb rundet man auf!

$n=11$ $\Rightarrow$ Er muss elfmal schießen, um mit mindestens $90\%$ -iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu treffen.

3-Mindestens-Aufgabe allgemein lösen

Das gerade beschriebene Verfahren läuft immer gleich ab. Deshalb kann man es auch allgemein aufschreiben:

gesucht: Mindestanzahl $n$ an Versuchsduchläufen gegeben: Trefferwahrscheinlichkeit $p$ und $P(\text{"mind. ein Treffer"})$ .

Verwende das Gegenereignis mit der Gegenwahrscheinlichkeit von $p$

$\displaystyle 1-\left(1-p\right)^n$	$≥$	$\displaystyle P\left(\text{"min. ein Treffer"}\right)$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -\left(1-p\right)^n$	$≥$	$\displaystyle P\left(\text{"min. ein Treffer"}\right)-1$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle \left(1-p\right)^n$	$≤$	$\displaystyle -P\left(\text{"min. ein Treffer"}\right)+1$
$\displaystyle \left(1-p\right)^n$	$≤$	$\displaystyle 1-P\left(\text{"min. ein Treffer"}\right)$	$\displaystyle \log_{\left(1-p\right)}$
	↓	Weil $1-p<1$ ist, dreht sich bei der Anwendung des Logarithmus das Ungleichheitszeichen um.
$\displaystyle n$	$≥$	$\displaystyle \log_{\left(1-p\right)}\left(1-P\left(\text{"min. ein Treffer"}\right)\right)$

Runde n auf die nächste ganze Zahl und du hast das Ergebnis!

Auch das wird am Beispiel mit den Blumenzwiebeln ausprobiert.

Du hast $p=0{,}25$ (eine gelbe Tulpe) und $1-p=0{,}75$ (eine rote Tulpe).

$P(\text{"min. ein Treffer"})$ soll den Wert $0{,}8=80\%$ haben, also ist $1-P(\text{"min. ein Treffer"})=0{,}2$ .

In die Formel eingesetzt erhältst du

\displaystyle n\ge \log_{0{,}75}(0{,}2)\approx 5{,}59

Tina muss also 6 Zwiebeln pflanzen, um mit $80\%$ Wahrscheinlichkeit eine gelbe Tulpe dabei zu haben.

Übungsaufgaben

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