Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion mit der man Aufgaben aus der Kombinatorik lösen kann.
Ein bekanntes Beispiel ist das Lotto, das man auch "6 aus 49" nennt. Und das nennt man nicht ohne Grund so. Man zieht nämlich 6 unterscheidbare Kugeln aus einer Urne mit 49 Kugeln, ohne auf die Reihenfolge zu achten.
Formel
%%\displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}%%
In der Kombinatorik wird diese Formel sehr oft verwendet, weshalb man diese Kurzschreibweise eingeführt hat.
Sprechweisen
Es gibt zwei Sprechweisen, die etwa gleich gebräuchlich sind, deshalb sollte man beide kennen. %%\binom{n}{k}%% nennt man:
- „n über k“
- „k aus n“ (intuitiver, da %%\binom{n}{k}%% berechnet, wieviele Möglichkeiten es gibt %%k%% Kugeln aus einer Urne mit %%n%% Kugeln zu ziehen)
Eigenschaften
Der Binomialkoeffizient ist immer größer oder gleich Null.
Falls %%k>n%% folgt: %%\displaystyle\binom{n}{k}=0%%. (Man kann nicht aus 49 Kugeln 50 ziehen.)
Symmetrie: %%\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}%%
%%\displaystyle\begin{array}{ccl} \binom{n}{n-k}&=&\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot\left(n-\left(n-k\right)\right)!}\\ &=&\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}\\ &=&\frac{n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}\\ &=&\binom{n}{k} \end{array} %%
- Additionstheorem: %%\displaystyle\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}%%
Ersetze %%n%% duch %%n-1%% und %%k%% durch %%k-1%%:
%%\begin{array}{ccl} \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}&=&\frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k-1\right)!}\\ &=&\frac{\left(n-1\right)!\cdot k}{k\cdot\left(k-1\right)!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!\cdot\left(n-k\right)}{k!\cdot\left(n-k\right)\cdot\left(n-k-1\right)!}\\ &=&\frac{\left(n-1\right)!\cdot k}{k!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!\cdot\left(n-k\right)}{k!\cdot\left(n-k\right)!}\\ &=&\frac{\left(n-1\right)!\cdot\left(k+n-k\right)}{k!\cdot\left(n-k\right)!}\\ &=&\frac{n\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}\\ &=&\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}\\ &=&\binom{n}{k} \end{array} %%
Sonderfälle
Pascalsches Dreieck
Die Werte der Binomialkoeffizienten kann man direkt am Pascalschen Dreieck ablesen.
Wenn du mitarbeiten möchtest, sehr gerne :) Ich unterstütze dich auch auf irgendeiner Art (E-Mail, Profil auf Serlo, Kommentarfunktion auf Serlo oder gerne auch über unseren erst neu-eingerichteten Community-Chat Telegram [mehr Infos hierzu unter https://de.serlo.org/community im Abschnitt Community-Chat]
LG,
Nish
Ich bin noch sehr neu bei Serlo, von daher habe ich auf der einen Seite keine Ahnung, wo sich vielleicht solche Hilfeseiten verstecken, andererseits sollte es ja für Nutzer wie mich möglichst leicht sein, auf Serlo mitzuwirken, denke ich. Vielleicht tut es auch ein klarerer als Hilfeseite zu erkennender Link zu den Seiten, die es schon gibt.
Oder vielleicht sogar ein Chat-Widget für Fragen und Feedback in die Ecke packen, wie es gerade im Trend ist?
Das wären so Ideen von mir.
sry., dass ich mich noch nicht gemeldet habe! Bin momentan beschäftigt und habe verschiedene Dinge um die Ohren! Ich antworte dir meinerseits spätestens Freitag ausführlich, aber ich hoffe, ich schaffe es morgen Abend!
LG,
Nish