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Binomialkoeffizient

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Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der man Aufgaben aus der Kombinatorik lösen kann.

Ein bekanntes Beispiel ist das Lotto, das man auch "6 aus 49" nennt und das nicht ohne Grund. Man zieht nÀmlich 6 unterscheidbare Kugeln aus einer Urne mit 49 Kugeln, ohne auf die Reihenfolge zu achten. Die Anzahl der Kombinationen ergibt sich zu:

.

Formel

(nk)=n!k!⋅(n−k)!\displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}

In der Kombinatorik wird diese Formel sehr oft verwendet, weshalb man diese Kurzschreibweise eingefĂŒhrt hat.

Sprechweisen

Es gibt zwei Sprechweisen, die etwa gleich gebrÀuchlich sind, deshalb sollte man beide kennen. (nk)\binom{n}{k} nennt man:

  • „n ĂŒber k“

  • „k aus n“ (intuitiver, da (nk)\binom{n}{k} berechnet, wie viele Möglichkeiten es gibt kk Kugeln aus einer Urne mit nn Kugeln zu ziehen)

Berechnung

Ein einfacher Weg, einen Binomialkoeffizienten zu berechnen, besteht in folgender Herangehensweise:

  • Notiere die FakultĂ€t von k unter dem Bruchstrich.

  • Notiere das Produkt der gleichen Anzahl von absteigenden Zahlen im ZĂ€hler.

Beispiel: (83)=8⋅7⋅61⋅2⋅3=56\displaystyle\binom{8}{3}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3}=56

BegrĂŒndung an einem Beispiel:

(n3)=n!3!⋅(n−3)!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅(n−3)⋅...⋅3⋅2⋅11⋅2⋅3⋅(n−3)⋅...⋅3⋅2⋅1\displaystyle\binom{n}{3}=\frac{n!}{3!\cdot\left(n-3\right)!}=\frac{n \cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot ... \cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot (n-3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }

Man erkennt ganz gut, dass sich die Faktoren (n−3)⋅...⋅3⋅2⋅1(n-3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 sowohl im ZĂ€hler, als auch im Nenner finden und sie sich wegkĂŒrzen lassen.

Visualisierung

Hier gibt es eine interaktive Visualisierung, die anschaulich zeigt, wie sich die Kombinationen "k aus n" ergeben.

Eigenschaften

  • Der Binomialkoeffizient ist immer eine ganze Zahl grĂ¶ĂŸer oder gleich null.

  • Falls k>nk>n folgt: (nk)=0\displaystyle\binom{n}{k}=0. (Man kann nicht aus 49 Kugeln 50 ziehen.)

  • Symmetrie: (nk)=(nn−k)\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

  • Additionstheorem: (n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\displaystyle\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}

SonderfÀlle

Pascalsches Dreieck

Die Werte der Binomialkoeffizienten kann man direkt am Pascalschen Dreieck ablesen.

Übungsaufgaben

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

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