Binomialkoeffizient

Formel des Binomialkoeffizienten

In der Kombinatorik wird diese Formel sehr oft verwendet, weshalb man diese Kurzschreibweise eingeführt hat.

Sprechweisen für den Binomialkoeffizienten

Es gibt zwei Sprechweisen, die etwa gleich gebräuchlich sind, deshalb sollte man beide kennen. $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\backslash binom\{n\}\{k\}$ nennt man:

• „n über k“

• „k aus n“ (intuitiver, da $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\backslash binom\{n\}\{k\}$ berechnet, wie viele Möglichkeiten es gibt $kk$ Kugeln aus einer Urne mit $nn$ Kugeln zu ziehen)

Berechnung des Binomialkoeffizienten

Ein einfacher Weg, einen Binomialkoeffizienten zu berechnen, besteht in folgender Herangehensweise:

• Notiere die Fakultät von k unter dem Bruchstrich.

• Notiere das Produkt der gleichen Anzahl von absteigenden Zahlen im Zähler.

Beispiel: ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{3}\right)=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}=56}\backslash displaystyle\backslash binom\{8\}\{3\}=\backslash frac\{8\; \backslash cdot\; 7\; \backslash cdot\; 6\}\{1\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 3\}=56$

Begründung an einem Beispiel:

${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{3}\right)=\frac{n!}{3!\cdot (n-3)!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot (n-3)\cdot \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\backslash displaystyle\backslash binom\{n\}\{3\}=\backslash frac\{n!\}\{3!\backslash cdot\backslash left(n-3\backslash right)!\}=\backslash frac\{n\; \backslash cdot(n-1)\backslash cdot(n-2)\backslash cdot(n-3)\backslash cdot\; ...\; \backslash cdot\; 3\backslash cdot\; 2\backslash cdot\; 1\}\{1\backslash cdot\; 2\backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; (n-3)\; \backslash cdot\; ...\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 1\; \}$

Man erkennt ganz gut, dass sich die Faktoren $(n-3)\cdot \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\cdot 3\cdot 2\cdot 1(n-3)\; \backslash cdot\; ...\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 1$ sowohl im Zähler, als auch im Nenner finden und sie sich wegkürzen lassen.

Interaktive Visualisierung

Hier gibt es eine interaktive Visualisierung, die anschaulich zeigt, wie sich die Kombinationen "k aus n" ergeben.

Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

• Der Binomialkoeffizient ist immer eine ganze Zahl größer oder gleich null.

• Falls $k>nk>n$ folgt: ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=0}\backslash displaystyle\backslash binom\{n\}\{k\}=0$. (Man kann nicht aus 49 Kugeln 50 ziehen.)

• Symmetrie: ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{n-k}\right)}\backslash displaystyle\backslash binom\{n\}\{k\}=\backslash binom\{n\}\{n-k\}$

• Additionstheorem: ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n+1}{k+1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k+1}\right)}\backslash displaystyle\backslash binom\{n+1\}\{k+1\}=\backslash binom\{n\}\{k\}+\backslash binom\{n\}\{k+1\}$

Sonderfälle des Binomialkoeffizienten

Pascalsches Dreieck

Die Werte der Binomialkoeffizienten kann man direkt am Pascalschen Dreieck ablesen.