Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion mit der man Aufgaben aus der Kombinatorik lösen kann.

Ein bekanntes Beispiel ist das Lotto, das man auch "6 aus 49" nennt. Und das nennt man nicht ohne Grund so. Man zieht nämlich 6 unterscheidbare Kugeln aus einer Urne mit 49 Kugeln, ohne auf die Reihenfolge zu achten.

Formel

In der Kombinatorik wird diese Formel sehr oft verwendet, weshalb man diese Kurzschreibweise eingeführt hat.

Sprechweisen

Es gibt zwei Sprechweisen, die etwa gleich gebräuchlich sind, deshalb sollte man beide kennen. (nk)\binom{n}{k} nennt man:

  • „n über k“

  • „k aus n“ (intuitiver, da (nk)\binom{n}{k} berechnet, wieviele Möglichkeiten es gibt kk Kugeln aus einer Urne mit nn Kugeln zu ziehen)

Eigenschaften

  • Der Binomialkoeffizient ist immer größer oder gleich Null.

  • Falls k>nk>n folgt: (nk)=0\displaystyle\binom{n}{k}=0. (Man kann nicht aus 49 Kugeln 50 ziehen.)

  • Symmetrie: (nk)=(nnk)\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

  • Additionstheorem: (n+1k+1)=(nk)+(nk+1)\displaystyle\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}

Sonderfälle

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Pascalsches Dreieck

Die Werte der Binomialkoeffizienten kann man direkt am Pascalschen Dreieck ablesen.


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