Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

1

Berechne:

$\begin{pmatrix}14\\3\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}14\\3\end{pmatrix}\;=364$
$\begin{pmatrix}14\\3\end{pmatrix}=\frac{14!}{3!\cdot(14-3)!}$
$\begin{pmatrix}14\\3\end{pmatrix}\;=\:\frac{3!}{14!\;\cdot(3-14)!}$
$\begin{pmatrix}14\\3\end{pmatrix}=\;\frac{14!}{3!}$

$\begin{pmatrix}23\\19\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}23\\19\end{pmatrix}\;=\;8855$
$\begin{pmatrix}23\\19\end{pmatrix}=\dfrac{23!}{19!\cdot(23-19)!}$
$\begin{pmatrix}23\\19\end{pmatrix}\;=\dfrac{19!}{23!\cdot(19-23)!}$
$\begin{pmatrix}23\\19\end{pmatrix}=\dfrac{23!}{19!}$

$\begin{pmatrix}19\\16\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}19\\16\end{pmatrix}=\dfrac{19!}{16!\cdot(19-16)!}$
$\begin{pmatrix}19\\16\end{pmatrix}=\;969$
$\begin{pmatrix}19\\16\end{pmatrix}=\dfrac{19!}{16!\cdot(19!-16!)}$
$\begin{pmatrix}19\\16\end{pmatrix}\;=\dfrac{19!}{16!}$

2

Beweise das Symmetriegesetz $\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$

3

Beweise die Additionsformel $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient

Anstatt $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ zu zeigen, beweisen wir $\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}$ .

Benutze die Formel für Binomialkoeffizienten, um $\displaystyle\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ umzuformen.

$\displaystyle \frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k-1\right)!}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\cdot\left((n-1)-(k-1)\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-1-k\right)!}\\$
	↓	$(n - 1) - (k - 1) = n - k$ und schreibe $(n - 1 - k)$ als $(n - k - 1)$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k-1\right)!}$
	↓	Erweitere den ersten Bruch mit $k$ und den zweiten mit $(n - k)$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{k\cdot\left(n-1\right)!}{k\cdot\left(k-1\right)!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-k\right)\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)\left(n-k-1\right)!}$
	↓	Forme die Fakultäten um: $k \cdot (k - 1)! = k! k⋅(k−1)!=k!$ $\left(n-k\right)\cdot\left(n-k-1\right)!=\left(n-k\right)^{ }!$ $(n - k) \cdot (n - k - 1)! = (n - k)! (n−k)⋅(n−k−1)!=(n−k)!$
	$=$	$\displaystyle \frac{k\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-k\right)\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{k\cdot\left(n-1\right)!+\left(n-k\right)\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$
	↓	Nutze das Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(k+n-k\right)\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$
	↓	$k + n - k = n$
	$=$	$\displaystyle \frac{n\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$
	↓	$n\cdot(n-1)!=n!$
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$
	↓	Hier steht bereits die Formel für Binomialkoeffizienten.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle=\binom{n}{k}$

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4

Beweise: $\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=2^n$

5

Beweise:

$\displaystyle \binom{n}{0}=1=\binom{n}{n}$

$\displaystyle \binom{n}{1}=n=\binom{n}{n-1}$

6

7

Berechne die Binomialkoeffizienten!

$\displaystyle\binom{9}{2}$

$\displaystyle\binom{9}{2}=\frac{9 \cdot 8}{1 \cdot 2}=36$
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$\displaystyle\binom{6}{3}$

$\displaystyle\binom{6}{3}=\frac{6\cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3}=20$
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$\displaystyle\binom{12}{10}$

Um diese Rechnung einfach zu lösen, ist es sinnvoll die Eigenschaft
$\displaystyle\binom{n}{k}=\displaystyle\binom{n}{n-k}$ zu verwenden:
$\displaystyle\binom{12}{10}=\displaystyle\binom{12}{12-10}=\displaystyle\binom{12}{2}=\frac{12 \cdot 11}{1 \cdot 2}=66$
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$\displaystyle \left(1+1\right)^n$	$=$	$\displaystyle \left(1+1\right)^n=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}1^k\cdot1^{n-k}$
$\displaystyle 2^n$	$=$	$\displaystyle \sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$

$\displaystyle \displaystyle \binom{n}{0}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{n!}{0!\cdot\left(n-0\right)!}$
	↓	Die Fakultät von 0 ist gleich 1.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle =\frac{n!}{1\cdot n!}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \displaystyle \binom{n}{n}$	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{n!\cdot\left(n-n\right)!}$
	↓	Fasse zusammen und kürze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1\cdot0!}$
	↓	Die Fakultät von 0 ist gleich 1.
	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \displaystyle \binom{n}{1}$	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{1!\cdot\left(n-1\right)!}$
	↓	Ziehe ein $n$ aus $n!$ im Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{n\cdot\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle n$

$\displaystyle \binom{n}{n-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{\left(n-1\right)!\cdot\left(n-\left(n-1\right)\right)!}$
	↓	Ziehe ein $n$ aus $n!$ im Zähler und fasse die 2. Klammer im Nenner zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{n\cdot\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot1!}$
	↓	Kürze den Bruch und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle n$

Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

Binomialkoeffizient und Fakultät

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Binomialkoeffizient und Fakultät

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	$=$	$\displaystyle \dfrac{14!}{3!\cdot\left(14-3\right)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot\cdot\cdot\cdot3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot1\cdot11\cdot10\cdot\cdot\cdot3\cdot2\cdot1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{14\cdot13\cdot12}{3\cdot2\cdot1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2184}{6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 364$

	$=$	$\displaystyle \dfrac{23!}{19!\cdot\left(23-19\right)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{23\cdot22\cdot21\cdot20}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{212520}{24}$
	↓	Verieinfache.
	$=$	$\displaystyle 8855$

$\displaystyle \dfrac{19!}{16!\cdot\left(19-16\right)!}$	$=$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot\cdot\cdot3\cdot2\cdot1}{16\cdot15\cdot\cdot\cdot3\cdot2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{19\cdot18\cdot17}{3\cdot2\cdot1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5814}{6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 969$

$\displaystyle \displaystyle \binom{12}{2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{12!}{2!\cdot\left(12-2\right)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{12\cdot11\cdot10\cdots3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot10\cdot9\cdots3\cdot2\cdot1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{12\cdot11}{2}$
	$=$	$\displaystyle 66$

$\displaystyle 2\cdot\binom{6}{2}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{6!}{2!\cdot\left(6-2\right)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{6\cdot5}{2}$
	$=$	$\displaystyle 30$