Aufgaben zu Binomialkoeffizienten - lernen mit Serlo!

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Mathematik Stochastik…Binomialkoeffizienten Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

…

Berechne:

$(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array})$

$(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array}) = 364$
$(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array}) = \frac{14!}{3! \cdot (14 - 3)!}$
$(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array}) = \frac{3!}{14! \cdot (3 - 14)!}$
$(\begin{array}{c} 14 \\ 3 \end{array}) = \frac{14!}{3!}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient und Fakultät

Zur Bearbeiung der Aufgabe kann es hilfreich sein, die Themen Binomialkoeffizient und Fakultät nachzulesen.

$(\binom{14}{3})$

Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.

	$=$	$\frac{14!}{3! \cdot (14 - 3)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 10 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{2184}{6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$364$

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$(\begin{array}{c} 23 \\ 19 \end{array})$
- $(\begin{array}{c} 23 \\ 19 \end{array}) = 8855$
- $(\begin{array}{c} 23 \\ 19 \end{array}) = \frac{23!}{19! \cdot (23 - 19)!}$
- $(\begin{array}{c} 23 \\ 19 \end{array}) = \frac{19!}{23! \cdot (19 - 23)!}$
- $(\begin{array}{c} 23 \\ 19 \end{array}) = \frac{23!}{19!}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Binomialkoeffizient und Fakultät
$(\binom{23}{19})$
Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
$=$ $\frac{23!}{19! \cdot (23 - 19)!}$
↓
Schreibe die Fakultäten aus.
$=$ $\frac{23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
↓
Multipliziere aus.
$=$ $\frac{212520}{24}$
↓
Verieinfache.
$=$ $8855$
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$(\begin{array}{c} 19 \\ 16 \end{array})$

$(\begin{array}{c} 19 \\ 16 \end{array}) = \frac{19!}{16! \cdot (19 - 16)!}$
$(\begin{array}{c} 19 \\ 16 \end{array}) = 969$
$(\begin{array}{c} 19 \\ 16 \end{array}) = \frac{19!}{16! \cdot (19! - 16!)}$
$(\begin{array}{c} 19 \\ 16 \end{array}) = \frac{19!}{16!}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient und Fakultät

$(\binom{19}{16})$

Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.

$\frac{19!}{16! \cdot (19 - 16)!}$	$=$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{16 \cdot 15 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\frac{19 \cdot 18 \cdot 17}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{5814}{6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$969$

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