Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

Lerne mit diesen Übungsaufgaben, den Binomialkoeffizienten auszurechnen und ihn im Sachkontext anzuwenden.

2
Beweise das Symmetriegesetz $(\begin{array}{c} n \\ n - k \end{array}) = (\begin{array}{c} n \\ k \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffinzient
$(\binom{n}{n - k})$
Benutze die Formel für Binomialkoeffizienten.
$= \frac{n!}{(n - k)! (n - (n - k))!}$
$n - (n - k) = n - n + k = k$
$= \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$
Hier steht bereits die Formel für Binomialkoeffizienten.
$= (\binom{n}{k})$

Beweise die Additionsformel $(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ k + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} n + 1 \\ k + 1 \end{array})$

4
Beweise: $\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) = 2^{n}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Es gilt folgende Formel aufgrund des Binomischen Lehrsatzes.
${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) a^{k} \cdot b^{n - k}$
Setze nun $a = 1$ und $b = 1$ , um die Aussage zu beweisen.
${(1 + 1)}^{n}$ $=$ ${(1 + 1)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) 1^{k} \cdot 1^{n - k}$
$2^{n}$ $=$ $\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array})$
5
Beweise:
1. $(\binom{n}{0}) = 1 = (\binom{n}{n})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
  Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
  $(\binom{n}{0})$ $=$ $\frac{n!}{0! \cdot (n - 0)!}$
  ↓
  Die Fakultät von 0 ist gleich 1.
  $=$ $= \frac{n!}{1 \cdot n!}$
  ↓
  Kürze den Bruch.
  $=$ $1$
  Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
  $(\binom{n}{n})$ $=$ $\frac{n!}{n! \cdot (n - n)!}$
  ↓
  Fasse zusammen und kürze den Bruch.
  $=$ $\frac{1}{1 \cdot 0!}$
  ↓
  Die Fakultät von 0 ist gleich 1.
  $=$ $1$
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2. $(\binom{n}{1}) = n = (\binom{n}{n - 1})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
  Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
  $(\binom{n}{1})$ $=$ $\frac{n!}{1! \cdot (n - 1)!}$
  ↓
  Ziehe ein $n$ aus $n!$ im Zähler.
  $=$ $\frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - 1)!}$
  ↓
  Kürze den Bruch.
  $=$ $n$
  Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
  $(\binom{n}{n - 1})$ $=$ $\frac{n!}{(n - 1)! \cdot (n - (n - 1))!}$
  ↓
  Ziehe ein $n$ aus $n!$ im Zähler und fasse die 2. Klammer im Nenner zusammen.
  $=$ $\frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - 1)! \cdot 1!}$
  ↓
  Kürze den Bruch und vereinfache.
  $=$ $n$
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6
Wolfgang hat 12 Socken in einer Schublade, 6 rote und 6 schwarze. Er nimmt nun zufällig 2 aus der Schublade.
Bestimme:
1. Die Anzahl aller Möglichkeiten, wenn man alle 12 Socken unterscheiden kann.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
  Die Anzahl der Möglichkeiten 2 Socken aus 12 zufällig zu ziehen entspricht genau dem Binomialkoeffizienten $(\binom{12}{2})$ .
  Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
  $(\binom{12}{2})$ $=$ $\frac{12!}{2! \cdot (12 - 2)!}$
  ↓
  Schreibe die Fakultäten aus.
  $=$ $\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \dots 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 9 \dots 3 \cdot 2 \cdot 1}$
  ↓
  Kürze identische Zahlen.
  $=$ $\frac{12 \cdot 11}{2}$
  $=$ $66$
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2. Die Anzahl der Möglichkeiten für 2 gleichfarbige Socken.
  $2 \cdot (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array})$
  $(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array})$
  $(\begin{array}{c} 12 \\ 2 \end{array})$
  $2 \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ 2 \end{array})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
  Die Anzahl der Möglichkeiten 2 gleiche Socken zu ziehen entspricht der Anzahl der Möglichkeiten für 2 rote Socken und 2 schwarze Socken. Von beiden sind 6 in der Schublade, das bedeutet du ziehst zwei mal "2 aus 6".
  Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.
  $2 \cdot (\binom{6}{2})$ $=$ $2 \cdot \frac{6!}{2! \cdot (6 - 2)!}$
  ↓
  Schreibe die Fakultäten aus.
  $=$ $2 \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
  ↓
  Kürze identische Zahlen.
  $=$ $2 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2}$
  $=$ $30$
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3. Die Wahrscheinlichkeit für 2 gleiche Socken.
  $\frac{30}{66}$
  $\frac{1}{2}$
  $\frac{1}{4}$
  $\frac{36}{66}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
  Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "2 gleiche Socken" entspricht der Anzahl der Möglichkeiten 2 gleiche Socken zu ziehen (b) geteilt durch die Anzahl aller Möglichkeiten (a).
  $\frac{30}{66} = 0, 45 \approx 45,5 %$
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4. Die Wahrscheinlichkeit für 2 verschiedenfarbige Socken.
  $\frac{36}{66}$
  $\frac{5}{11}$
  $\frac{1}{4}$
  $\frac{2}{6}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
  Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "2 ungleiche Socken" entspricht der Anzahl der Möglichkeiten 2 ungleiche Socken zu ziehen geteilt durch die Anzahl aller Möglichkeiten (a).
  Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 ungleiche Socken zu ziehen entspricht der Anzahl der Möglichkeiten für 1 rote Socke und 1 schwarze Socke. Von beiden sind 6 in der Schublade, das bedeutet du ziehst "1 aus 6" und danach nochmal "1 aus 6".
  $(\binom{6}{1}) \cdot (\binom{6}{1}) = 6 \cdot 6 = 36$
  Die Anzahl aller Möglichkeiten ist 66 (Teilaufgabe a). Dies bedeutet für die Wahrscheinlichkeit.
  $\frac{36}{66} = 0, 54 \approx 54,5 %$
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7
Berechne die Binomialkoeffizienten!
1. $(\binom{9}{2})$
  
  $(\binom{9}{2}) = \frac{9 \cdot 8}{1 \cdot 2} = 36$
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2. $(\binom{6}{3})$
  
  $(\binom{6}{3}) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20$
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3. $(\binom{12}{10})$
  
  Um diese Rechnung einfach zu lösen, ist es sinnvoll die Eigenschaft
  $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ zu verwenden:
  $(\binom{12}{10}) = (\binom{12}{12 - 10}) = (\binom{12}{2}) = \frac{12 \cdot 11}{1 \cdot 2} = 66$
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Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

Binomialkoeffizient und Fakultät

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Binomialkoeffizient und Fakultät

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Binomialkoeffizient und Fakultät

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	$=$	$\frac{14!}{3! \cdot (14 - 3)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 10 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{2184}{6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$364$

	$=$	$\frac{23!}{19! \cdot (23 - 19)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\frac{23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{212520}{24}$
	↓	Verieinfache.
	$=$	$8855$

$\frac{19!}{16! \cdot (19 - 16)!}$	$=$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{16 \cdot 15 \cdot \cdot \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\frac{19 \cdot 18 \cdot 17}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Multipliziere aus.
	$=$	$\frac{5814}{6}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$969$

$\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - k - 1)!}$	$=$	$\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot ((n - 1) - (k - 1))!} + \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - 1 - k)!}$
	↓	$(n - 1) - (k - 1) = n - k$ und schreibe $(n - 1 - k)$ als $(n - k - 1)$ .
	$=$	$\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - k - 1)!}$
	↓	Erweitere den ersten Bruch mit $k$ und den zweiten mit $(n - k)$ .
	$=$	$\frac{k \cdot (n - 1)!}{k \cdot (k - 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k) (n - k - 1)!}$
	↓	Forme die Fakultäten um: $k \cdot (k - 1)! = k!$ $(n - k) \cdot (n - k - 1)! = {(n - k)}^{}!$ $(n - k) \cdot (n - k - 1)! = (n - k)!$
	$=$	$\frac{k \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\frac{k \cdot (n - 1)! + (n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	Nutze das Distributivgesetz.
	$=$	$\frac{(k + n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	$k + n - k = n$
	$=$	$\frac{n \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	$n \cdot (n - 1)! = n!$
	$=$	$\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	Hier steht bereits die Formel für Binomialkoeffizienten.
	$=$	$= (\binom{n}{k})$

${(1 + 1)}^{n}$	$=$	${(1 + 1)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) 1^{k} \cdot 1^{n - k}$
$2^{n}$	$=$	$\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array})$

$(\binom{n}{0})$	$=$	$\frac{n!}{0! \cdot (n - 0)!}$
	↓	Die Fakultät von 0 ist gleich 1.
	$=$	$= \frac{n!}{1 \cdot n!}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$1$

$(\binom{n}{n})$	$=$	$\frac{n!}{n! \cdot (n - n)!}$
	↓	Fasse zusammen und kürze den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{1 \cdot 0!}$
	↓	Die Fakultät von 0 ist gleich 1.
	$=$	$1$

$(\binom{n}{1})$	$=$	$\frac{n!}{1! \cdot (n - 1)!}$
	↓	Ziehe ein $n$ aus $n!$ im Zähler.
	$=$	$\frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - 1)!}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$n$

$(\binom{n}{n - 1})$	$=$	$\frac{n!}{(n - 1)! \cdot (n - (n - 1))!}$
	↓	Ziehe ein $n$ aus $n!$ im Zähler und fasse die 2. Klammer im Nenner zusammen.
	$=$	$\frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - 1)! \cdot 1!}$
	↓	Kürze den Bruch und vereinfache.
	$=$	$n$

$(\binom{12}{2})$	$=$	$\frac{12!}{2! \cdot (12 - 2)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \dots 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 9 \dots 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$\frac{12 \cdot 11}{2}$
	$=$	$66$

$2 \cdot (\binom{6}{2})$	$=$	$2 \cdot \frac{6!}{2! \cdot (6 - 2)!}$
	↓	Schreibe die Fakultäten aus.
	$=$	$2 \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
	↓	Kürze identische Zahlen.
	$=$	$2 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2}$
	$=$	$30$