Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

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Beweise:

$\displaystyle \binom{n}{0}=1=\binom{n}{n}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient

Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.

$\displaystyle \displaystyle \binom{n}{0}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{n!}{0!\cdot\left(n-0\right)!}$
	↓	Die Fakultät von 0 ist gleich 1.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle =\frac{n!}{1\cdot n!}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle 1$

Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.

$\displaystyle \displaystyle \binom{n}{n}$	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{n!\cdot\left(n-n\right)!}$
	↓	Fasse zusammen und kürze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1\cdot0!}$
	↓	Die Fakultät von 0 ist gleich 1.
	$=$	$\displaystyle 1$

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$\displaystyle \binom{n}{1}=n=\binom{n}{n-1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient

Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.

$\displaystyle \displaystyle \binom{n}{1}$	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{1!\cdot\left(n-1\right)!}$
	↓	Ziehe ein $n$ aus $n!$ im Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{n\cdot\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle n$

Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten um einen Bruch zu erhalten.

$\displaystyle \binom{n}{n-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{\left(n-1\right)!\cdot\left(n-\left(n-1\right)\right)!}$
	↓	Ziehe ein $n$ aus $n!$ im Zähler und fasse die 2. Klammer im Nenner zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{n\cdot\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot1!}$
	↓	Kürze den Bruch und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle n$

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