Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

Beweise die Additionsformel $(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) + (\begin{array}{c} n \\ k + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} n + 1 \\ k + 1 \end{array})$

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$\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - k - 1)!}$	$=$	$\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot ((n - 1) - (k - 1))!} + \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - 1 - k)!}$
	↓	$(n - 1) - (k - 1) = n - k$ und schreibe $(n - 1 - k)$ als $(n - k - 1)$ .
	$=$	$\frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - k - 1)!}$
	↓	Erweitere den ersten Bruch mit $k$ und den zweiten mit $(n - k)$ .
	$=$	$\frac{k \cdot (n - 1)!}{k \cdot (k - 1)! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k) (n - k - 1)!}$
	↓	Forme die Fakultäten um: $k \cdot (k - 1)! = k!$ $(n - k) \cdot (n - k - 1)! = {(n - k)}^{}!$ $(n - k) \cdot (n - k - 1)! = (n - k)!$
	$=$	$\frac{k \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\frac{k \cdot (n - 1)! + (n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	Nutze das Distributivgesetz.
	$=$	$\frac{(k + n - k) \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	$k + n - k = n$
	$=$	$\frac{n \cdot (n - 1)!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	$n \cdot (n - 1)! = n!$
	$=$	$\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$
	↓	Hier steht bereits die Formel für Binomialkoeffizienten.
	$=$	$= (\binom{n}{k})$