Aufgaben zu Binomialkoeffizienten

Beweise die Additionsformel $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n\\k+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1\\k+1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient

Anstatt $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ zu zeigen, beweisen wir $\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}=\binom{n}{k}$ .

Benutze die Formel für Binomialkoeffizienten, um $\displaystyle\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ umzuformen.

$\displaystyle \frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k-1\right)!}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\cdot\left((n-1)-(k-1)\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-1-k\right)!}\\$
	↓	$(n - 1) - (k - 1) = n - k$ und schreibe $(n - 1 - k)$ als $(n - k - 1)$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k-1\right)!}$
	↓	Erweitere den ersten Bruch mit $k$ und den zweiten mit $(n - k)$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{k\cdot\left(n-1\right)!}{k\cdot\left(k-1\right)!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-k\right)\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)\left(n-k-1\right)!}$
	↓	Forme die Fakultäten um: $k \cdot (k - 1)! = k! k⋅(k−1)!=k!$ $\left(n-k\right)\cdot\left(n-k-1\right)!=\left(n-k\right)^{ }!$ $(n - k) \cdot (n - k - 1)! = (n - k)! (n−k)⋅(n−k−1)!=(n−k)!$
	$=$	$\displaystyle \frac{k\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-k\right)\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$
	↓	Addiere die Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{k\cdot\left(n-1\right)!+\left(n-k\right)\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$
	↓	Nutze das Distributivgesetz.
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(k+n-k\right)\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$
	↓	$k + n - k = n$
	$=$	$\displaystyle \frac{n\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$
	↓	$n\cdot(n-1)!=n!$
	$=$	$\displaystyle \frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$
	↓	Hier steht bereits die Formel für Binomialkoeffizienten.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle=\binom{n}{k}$

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