Regression

Ausgleichsgerade-lineare Regression

Bei einer Messung hat man eine Reihe von Messwertpaaren $(x_i|y_i)$ (Datenpunkte) erhalten.

Diesen Messwertpaaren kann oft nicht eindeutig eine Funktion zugeordnet werden.

Nun wird eine Funktion gesucht, deren Graph möglichst eng an allen Punkten liegt.

Diese Funktion wird Regressionsfunktion genannt und das Verfahren zur Feststellung dieser Funktion heißt Regression.

Die lineare Regression beruht auf der von Gauß entwickelten "Methode der kleinsten Quadrate" ("Methode der kleinsten Quadratsumme").

Es werden die quadrierten Abstände zwischen den Datenpunkten und der Regressionsgeraden bzw. Regressionsfunktion minimiert. Dieses Prinzip ist auch für weitere Regressionsmethoden relevant.

Die Berechnung der Regressionsfunktion kann mithilfe eines Taschenrechners, mit der Tabellenkalkulation von Geogebra oder mit Excel erfolgen. Je nach Regressionsfunktionen, die zur Verfügung stehen, können unterschiedliche Ergebnisse entstehen.

Beispiel einer Regression

Mit den folgenden Daten wurden verschiedene Regressionen durchgeführt:

$(0{,}1|1{,}5);\;(1|2{,}2);\;(2|3{,}5);\;(4|6{,}5)$

Für den CASIO fx-991 DE PLUS erhält man folgende Ergebnisse:

Name der Regression	Funktion	Ergebnis der Regression	$r$ ist der Korrelations-koeffizient
lineare	$y=A+Bx$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$	$y=1{,}0958+1{,}3122x$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$	$0{,}9935$
quadratische	$y=A+Bx+Cx^2$	$y=1{,}3869+0{,}7715x+0{,}1273x^2$	keine Angabe
logarithmische	$y=A+B\cdot \ln x$	$y=3{,}4884+1{,}1372\cdot\ln x$	$0{,}8235$
exponentielle, e	$y=A\cdot e^{Bx}$	$y=1{,}5117\cdot e^{0{,}3754x}$	$0{,}9951$
exponentielle, AB	$y=A\cdot B^x$	$y=1{,}5117\cdot 1{,}4556^x$	$0{,}9951$
Potenz	$y=A\cdot X^B$	$y=3{,}0033\cdot x^{0{,}3602}$	$0{,}9131$
inverse	$y=A+\dfrac{B}{x}$	$y=4{,}290 -\dfrac{0{,}2945}{x}$	$-0{,}6284$

Anmerkung: Leider gibt es beim CASIO fx-991 DE PLUS bei der quadratischen Regression keine Angabe über den Korrelationskoeffizienten, sodass über die Güte der Annäherung keine Aussage getroffen werden kann (hier kann ein anderer TR helfen). Der Graph zeigt aber, dass die quadratische Regression gut ist.

Ergebnis der Regression

Beste Regression in diesem Beispiel mit dem CASIO - Taschenrechner liefert der exponentielle ( $r= 0{,}9951$ ) oder lineare Ansatz ( $r=0{,}9935$ ).

Übungsaufgaben: Regression

Laden

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?