Ermitteln Sie, nach wie vielen Stunden nach der Einnahme gemäß der gewählten Modellfunktion die maximale Konzentration des Medikamentes im Blut erreicht ist und berechnen Sie diese maximale Konzentration.

Berechnen Sie mithilfe partieller Integration den Wert des bestimmten Integrals $${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{20}}{\int }_0^{20}k(t)\mathrm{d}t}$$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $k$ in ein kartesisches Koordinatensystem im Intervall $0\le t\le 25$. Maßstab für beide Achsen: $1$ LE $=\mathrm{0,5}\text{ cm}.$ Übersteigt die Konzentration des verabreichten Medikaments im Blut des Patienten $6{\displaystyle \frac{\text{mg}}{\text{ l}}}$ können Nebenwirkungen auftreten. Ermitteln Sie näherungsweise mit Hilfe des Graphen von $k$, in welchem Zeitraum nach der Einnahme damit zu rechnen ist.

Um die Nebenwirkungen zu vermindern, plant der Hersteller das Medikament geringer zu dosieren. Es soll vier Stunden nach der Einnahme als Höchstwert eine Konzentration von $56{\displaystyle \frac{\text{mg}}{\text{ l}}}$ im Blut auftreten. Die Konzentration im Blut lässt sich dann mit einer Funktionsgleichung der Art $g(t)=c\cdot t\cdot e^{-\mathrm{0,25}t+2}$ mit $t\in {ℝ}_{\mathrm{𝟘}}^{+}$ und $c\in ℝ$ modellhaft darstellen. Dabei gibt der Funktionswert von $g$ die Konzentration des Medikaments im Blut des Patienten in Milligramm pro Liter $6{\displaystyle \frac{\text{mg}}{\text{ l}}}$ und die Variable $t$ die Zeit in Stunden $[\text{ h}]$ nach der Einnahme an.

1. Bestimmen Sie den Wert des Parameters $c$.

2. Einem Patienten wird verordnet, sechs Stunden nach der Ersteinnahme das Medikament nochmals einzunehmen. Die Konzentration im Blut entspricht dann modellhaft den Funktionswerten der Funktion $h$ mit $h(t)=\mathrm{0,46}t\cdot e^{-\mathrm{0,25}t+2}+\mathrm{0,46}(t-6)e^{-\mathrm{0,25}(t-6)+2}$ mit $t\in ℝ$ und $t\ge 6$. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_h$ der Funktion $h$. Untersuchen Sie, ob der Patient bei dieser Verordnung mit Nebenwirkungen (siehe Teilaufgabe 3.c) zu rechnen hat.