Heft 1 - lernen mit Serlo!

Ein Körper hat zu Beginn eine Temperatur von $100^{\circ} C$ . Nach jeweils einer Stunde beträgt seine Temperatur $20 %$ des Wertes, den er zu Beginn der Stunde hatte.

Entscheide, welche der Funktionsgleichungen die Situation richtig beschreibt und begründe deine Entscheidung.

$f (x) = 100 - {0,2}^{x}$
$g (x) = 100 \cdot {0,2}^{x}$
$h (x) = 100 \cdot 0,2 x$

/2 P.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum

In der Aufgabe ist der Körper (oder das Objekt) am Anfang $100^{\circ} C$ heiß. Mit jeder Stunde, die vergeht, verliert der Körper $80 %$ der Temperatur, sodass $20 %$ der ursprünglichen Temperatur übrig bleiben.

Hier eine Tabelle mit konkreten Werten:

Änderung der Zeit in h	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1	...
Zeit in h	0	1	2	3	...
Temperatur in °C	100	20	4	0,8	...
Änderung der Temperatur in %	- 80	- 80	- 80	- 80	...

Nun sieht man genau, dass mit jeder Stunde $80 %$ der Temperatur verloren geht.

Betrachte nun die allgemeine Wachstumsfunktion: $N (x) = N_{0} \cdot a^{x}$

Den Startwert $N_{0}$ kennst du bereits: $N_{0} = 100$

Der Zerfallsfaktor $a$ wird mit der Gleichung $a = (1 - p)$ errechnet.

Im Falle der Aufgabe hat die Änderungsrate $p$ den Wert $0,8$ .

Somit ist $a = 1 - 0,8 = 0,2$ .

$\to$ Die gesuchte Zerfallsfunktion ist also $g (x) = 100 \cdot {0,2}^{x}$ , da Startwert, Zerfallsfaktor und die Form der Funktion übereinstimmen.

$f$ ist zwar eine Exponentialfunktion, kann aber keine Wachstumsfunktion darstellen, da der Startwert $N_{0}$ mit dem Zerfallsfaktor $a$ subtrahiert wird.

$h$ ist keine Exponentialfunktion, sondern eine lineare Funktion, weswegen auch $h$ keine Wachstumsfunktion darstellen kann.

Dieses Werk wurde vom Ministerium für Allgemeine und Berufliche Bildung, Wissenschaft, Forschung und Kultur des Landes Schleswig-Holstein zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?