Heft 1

Erster Teil der Rechnung

$10\cdot 93=93010\; \backslash cdot\; 93\; =\; 930$

Zweiter Teil der Rechnung

Um $20\cdot 9320\; \backslash cdot\; 93$ zu erhalten, fehlt noch die Multiplikation mit der $22$.

Es gilt: $20\cdot 93=10\cdot 93\cdot 220\; \backslash cdot\; 93\; =\; 10\; \backslash cdot\; 93\; \backslash cdot\; 2$

Emily muss mit $22$ multiplizieren, um das richtige Ergebnis zu erhalten.

Flächeninhaltes des Dreiecks

Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, multipliziert man eine Seite, hier $gg$, mit der senkrecht auf ihr stehenden Höhe $hh$ und dem Bruch $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$.

Das Dreieck $ABCABC$ hat also einen Flächeninhalt von $24{\text{ cm}}^{2}24\; \backslash cm^2$.

Seitenlängen des Rechtecks

Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die beiden Seitenlängen miteinander multipliziert.

Um die Seitenlängen eines Rechtecks zu ermitteln, das einen Flächeninhalt von $24{\text{ cm}}^{2}24\; \backslash cm^2$ hat, muss man also zwei Zahlen finden die multipliziert $2424$ ergeben.

Dafür gibt es viele Lösungen, zum Beispiel:

1. $a=4\text{ cm},b=6\text{ cm}a\; =\; 4\; \backslash cm,\; \backslash \; b\; =\; 6\; \backslash cm$

2. $a=3\text{ cm},b=8\text{ cm}a\; =\; 3\; \backslash cm,\; \backslash \; b\; =\; 8\; \backslash cm$

3. $a=2\text{ cm},b=12\text{ cm}a\; =\; 2\; \backslash cm,\; \backslash \; b\; =\; 12\; \backslash cm$

Bei dieser Aufgabe muss man jeweils einen Bruch mit einem Quadrat darstellen.

Dafür teilt man zuerst das eine Quadrat in drei und das andere in sechs gleich große Teile ein:

Danach färbt man beim linken Quadrat ein Teil ein, diese Fläche repräsentiert dann $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ der gesamten Fläche.

Beim rechten Quadrat färbt man zwei Teile ein, hier repräsentiert die gefärbte Fläche $\frac{2}{6}\backslash frac\{2\}\{6\}$ der gesamten Fläche.

Die eingefärbten Flächen sind gleich groß, genau wie die Brüche $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ und $\frac{2}{6}\backslash frac\{2\}\{6\}$.

Gleichungen umstellen

Um erkennen zu können, welche Gerade zu welcher Funktionsgleichung gehört, stellt man die Gleichungen zuerst nach $yy$ um, damit sie in der üblichen Form sind.

Der Graph der ersten Funktion verläuft also von unten links nach oben rechts und hat die Steigung $11$. Er ist nicht gestreckt, aber um $22$ in y-Richtung nach oben verschoben.

Der Graph der zweiten Funktion verläuft ebenfalls von unten links nach oben rechts und hat die Steigung $11$. Er ist nicht gestreckt, aber um $33$ in y-Richtung nach oben verschoben.

Vergleich mit den Abbildungen

Die erste Abbildung kann ausgeschlossen werden, da sie nur einen Graphen zeigt und die beiden Gleichungen nicht den selben Graphen beschreiben.

Die zweite Gleichung kann ausgeschlossen werden, da einer der beiden Graphen von links oben nach rechts unten verläuft.

Die dritte Abbildung passt zu dem Gleichungssystem.

Hier kann man entweder herumprobieren, oder die Rechnung nach der unbekannten Zahl umstellen. Dafür ersetzt man $3203\; \backslash \; 2\; \backslash \; 0$ durch eine Variable, zum Beispiel $xx$.

Rechnung 1

Bei der ersten Rechnung muss man das Komma also nach der ersten Ziffer setzen, der Divisor ist $\mathrm{3,2}3\{,\}2$.

Rechnung 2

Auch hier ersetzt man die unbekannte Zahl, also $1341\; \backslash \; 3\; \backslash \; 4$, durch $xx$.

Bei der zweiten Rechnung muss man das Komma nach der zweiten Ziffer setzen, der Divisor ist $\mathrm{13,4}13\{,\}4$.

Summe der unteren beiden Winkel

In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel $180\mathrm{°}180°$.

In der Abbildung sieht man, dass der Winkel oben $50\mathrm{°}50°$ groß ist. Zieht man diesen Winkel von den $180\mathrm{°}180°$ ab, kommt dabei die Summe der beiden anderen Winkel heraus.

$180\mathrm{°}-50\mathrm{°}=130\mathrm{°}180°\; -\; 50°\; =\; 130°$

Größe von $\alpha \backslash alpha$

Aus der Aufgabenstellung erfährt man, dass das Dreieck gleichschenklig ist. Das heißt, dass die beiden Winkel an der Basis, das heißt in diesem Fall die Winkel links und rechts unten, gleich groß sind.

Also muss man jetzt nur noch die Summe der beiden Winkel unten, die man vorher berechnet hat, durch zwei Teilen, um zu erfahren, wie groß $\alpha \backslash alpha$ ist.

$130\mathrm{°}:2=65\mathrm{°}130°\; :\; 2\; =\; 65°$

$\alpha \backslash alpha$ hat eine Größe von $65\mathrm{°}65°$.

Hier kann man die Rechnung durch geschicktes Umformulieren vereinfachen:

Ungleichung 1

Die linke Seite soll hier größer sein als die rechte, also kann man ausprobieren, ob addieren funktioniert:

${\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{11}{10}}>1\backslash dfrac\{3\}\{5\}\; +\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{11\}\{10\}\; >\; 1$

Addition klappt also.

Da der zweite Bruch kleiner ist als $11$, würde er den ersten Bruch vergrößern, wenn man durch ihn dividiert:

${\displaystyle \frac{3}{5}}:{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{1}}={\displaystyle \frac{6}{5}}>1\backslash dfrac\{3\}\{5\}\; :\; \backslash dfrac\{1\}\{2\}\; =\; \backslash dfrac\{3\}\{5\}\; \backslash cdot\; \backslash dfrac\{2\}\{1\}\; =\; \backslash dfrac\{6\}\{5\}\; >\; 1$

Division klappt hier auch.

Ungleichung 2

Die linke Seite soll hier kleiner sein als die rechte, also kann man ausprobieren, ob subtrahieren funktioniert:

Subtraktion klappt also.

Da die zweite Zahl größer ist als $11$, kann man auch dividieren ausprobieren:

Division klappt hier auch.

Ungleichung 3

Die linke Seite soll hier größer sein als die rechte, also kann man ausprobieren, ob addieren funktioniert:

Addition klappt hier nicht.

Da die zweite Zahl kleiner ist als $11$, würde sie die erste Zahl vergrößern, wenn man durch sie dividiert:

$\mathrm{6,8}:\mathrm{0,5}=\mathrm{13,6}>106\{,\}8\; :\; 0\{,\}5\; =\; 13\{,\}6\; >\; 10$

Division ist hier die richtige Lösung.

Der Maßstab beträgt $1:1000001:100000$. Das heißt, $1\text{ cm}1\; \backslash cm$ auf der Karte entspricht $100000\text{ cm}100000\; \backslash cm$ in der Wirklichkeit.

$2\text{ cm}2\; \backslash cm$ auf der Karte entsprechen also $200000\text{ cm}200000\; \backslash cm$ in der Wirklichkeit.

Um von Zentimeter in Meter umzurechnen, dividiert man durch $100100$:

$200000:100=2000200000\; :\; 100\; =\; 2000$

$200000\text{ cm}200000\; \backslash cm$ sind also genau so viel wie $2000\text{ m}2000\; \backslash m$.

Um jetzt noch in Kilometer umzurechnen, dividiert man noch durch $10001000$:

$2000:1000=22000\; :\; 1000\; =\; 2$

$2\text{ cm}2\; \backslash cm$ auf der Karte entsprechen also $2\text{ km}2\; \backslash km$ in der Wirklichkeit.

Die Anzahl an Objekten ist die Grundgröße (hier also 12) und der Betrag ist die zugeordnete Größe (hier also 144 €). Um den Proportionalitätsfaktor p herauszufinden tun wir folgendes:

p gibt also an, wie viel ein Objekt kosten würde. In diesem Fall sind es 12 €. Jetzt müssen wir den Proportionalitätsfaktor p mit der Anzahl multiplizieren, was uns zum Ergebnis führt:

$12\cdot 5=6012\backslash \; \backslash cdot\backslash \; 5\backslash \; =\backslash \; 60$

Einzeichnen von zwei Mittelsenkrechten.

Um die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform umzuwandeln, braucht man den Scheitelpunkt der Funktion.

x-Koordinate des Scheitelpunktes

Um die x-Koordinate des Scheitelpunkts zu finden, wendet man folgende Formel an:

$x_S=-{\displaystyle \frac{b}{2\cdot a}}={\displaystyle \frac{6}{2\cdot 1}}=3x\_S\; =\; -\; \backslash dfrac\{b\}\{2\; \backslash cdot\; a\}\; =\; \backslash dfrac\{6\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}\; =\; 3$

y-Koordinate des Scheitelpunktes

Um die y-Koordinate zu berechnen, setzt man jetzt die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein:

$f(3)=3^2-6\cdot 3-8=-17f(3)\; =\; 3^2\; -\; 6\; \backslash cdot\; 3\; -\; 8\; =\; -17$

Scheitelpunktform aufstellen

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten $S(d\mathrm{\mid }e)=S(3\mathrm{\mid }-17)S(\; d\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; e)\; =\; S(3|-17)$

Jetzt kann man die berechneten Koordinaten in die Scheitelpunktform einsetzen:

$f(x)=(x-d{)}^2+e=(x-3{)}^2-17f(x)\; =\; (x\; -\; d)^2\; +\; e\; =\; (x\; -\; 3)^2\; -\; 17$

In der Aufgabe ist der Körper (oder das Objekt) am Anfang ${100}^{\circ }C100^\backslash circ\; C$ heiß. Mit jeder Stunde, die vergeht, verliert der Körper $80\mathrm{\%}80\backslash \%$ der Temperatur, sodass $20\mathrm{\%}20\backslash \%$ der ursprünglichen Temperatur übrig bleiben.

Hier eine Tabelle mit konkreten Werten:

Nun sieht man genau, dass mit jeder Stunde $80\mathrm{\%}80\backslash \%$ der Temperatur verloren geht.

Betrachte nun die allgemeine Wachstumsfunktion: $N\left(x\right)=N_0\cdot a^{x}N\backslash left(x\backslash right)\backslash \; =\backslash \; N\_0\backslash \; \backslash cdot\backslash \; a^x$

Den Startwert $N_{0}N\_0$ kennst du bereits: $N_0=100N\_0\backslash \; =\backslash \; 100$

Der Zerfallsfaktor $aa$ wird mit der Gleichung $a=(1-p)a=\backslash left(1-p\backslash right)$ errechnet.

Im Falle der Aufgabe hat die Änderungsrate $pp$ den Wert $\mathrm{0,8}0\{,\}8$ .

Somit ist $a=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}a\backslash \; =\backslash \; 1\backslash \; -\backslash \; 0\{,\}8\backslash \; =\backslash \; 0\{,\}2$ .

$\to \backslash rightarrow$ Die gesuchte Zerfallsfunktion ist also $g\left(x\right)=100\cdot {\mathrm{0,2}}^{x}g\backslash left(x\backslash right)=100\backslash cdot0\{,\}2^x$, da Startwert, Zerfallsfaktor und die Form der Funktion übereinstimmen.

$ff$ ist zwar eine Exponentialfunktion, kann aber keine Wachstumsfunktion darstellen, da der Startwert $N_{0}N\_0$ mit dem Zerfallsfaktor $aa$ subtrahiert wird.

$hh$ ist keine Exponentialfunktion, sondern eine lineare Funktion, weswegen auch $hh$ keine Wachstumsfunktion darstellen kann.