Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich üblich über die Formel

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

wobei $g$ die Grundlinie und $h$ die Höhe des Dreiecks ist.

Auf folgende andere Arten lässt sich der Flächeninhalt auch berechnen:

1. Berechnung mit zwei Seiten des Dreiecks (z.B. $a$ und $b$ ) und dem Sinus des Winkels dazwischen (hier $γ$ ):

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin γ

2. Berechnung mit dem Kreuzprodukt oder einer Determinante (nur im Koordinatensystem möglich)

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} \times \vec{A C} |

Diese insgesamt 3 verschiedenen Berechnungsarten werden nun genauer erklärt.

Dreiecksfläche mit Grundlinie und Höhe berechnen

Dies ist die häufigst verwendete Methode. Man braucht dabei zur Berechnung der Dreiecksfläche $A_{Δ}$

die Grundlinie $g$ und
die Höhe $h$ des Dreiecks.

Merke

Die Formel lautet:

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

Verschiedene Versionen der Formel

Grundlinie $g$ kann jede beliebige Seite des Dreiecks sein; $h$ muss aber die jeweils zugehörige Höhe sein. Damit kann die Formel in drei verschiedenen Formen erscheinen:

Grundlinie	Höhe	Formel
$a$	$h_{a}$	$A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}$
$b$	$h_{b}$	$A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b}$
$c$	$h_{c}$	$A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c}$

Beachte

Über alle drei Formeln ergibt sich der gleiche Flächeninhalt! Wähle in einer Aufgabe eine der drei Formeln so, dass sie am leichtesten zu berechnen ist.

Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ gilt:

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

(Die Formel $A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c}$ gilt natürlich immer noch.)

Sonderfall: gleichseitiges Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge $a$ gilt:

A_{Δ} = \frac{a^{2}}{4} \cdot \sqrt{3}

Dreiecksfläche mit dem Sinus berechnen

Wenn man bereits den Sinus kennt, kann man die Fläche eines Dreiecks auch mit folgenden Angaben berechnen:

zwei Seitenlängen und
dem Sinus des dazwischenliegenden Winkels

Also z.B.:

$A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin γ$ ODER

Statt $γ$ kann natürlich auch jeder andere Winkel des Dreiecks betrachtet werden, und daher kann die Formel auch wieder in drei verschiedenen Formen auftreten:

Winkel	Formel	Darstellung
$α$	$A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin α$
$β$	$A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin β$
$γ$	$A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin γ$