Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich üblich über die Formel

\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h

wobei $g$ die Grundlinie und $h$ die Höhe des Dreiecks ist.

Auf folgende andere Arten lässt sich der Flächeninhalt auch berechnen:

1. Berechnung mit zwei Seiten des Dreiecks (z.B. $a$ und $b$ ) und dem Sinus des Winkels dazwischen (hier $\gamma$ ):

\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\gamma

2. Berechnung mit dem Kreuzprodukt oder einer Determinante (nur im Koordinatensystem möglich)

\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|

Diese insgesamt 3 verschiedenen Berechnungsarten werden nun genauer erklärt.

Dreiecksfläche mit Grundlinie und Höhe berechnen

Dies ist die häufigst verwendete Methode. Man braucht dabei zur Berechnung der Dreiecksfläche $A_{\Delta}$

die Grundlinie $g$ und
die Höhe $h$ des Dreiecks.

Merke

Die Formel lautet:

\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h

Verschiedene Versionen der Formel

Grundlinie $g$ kann jede beliebige Seite des Dreiecks sein; $h$ muss aber die jeweils zugehörige Höhe sein. Damit kann die Formel in drei verschiedenen Formen erscheinen:

Grundlinie	Höhe	Formel
$a$	$h_{a}$	$A_{\Delta}=\frac 12 \cdot a \cdot h_a$
$b$	$h_{b}$	$A_{\Delta}=\frac 12 \cdot b \cdot h_b$
$c$	$h_{c}$	$A_{\Delta}=\frac 12 \cdot c \cdot h_c$

Beachte

Über alle drei Formeln ergibt sich der gleiche Flächeninhalt! Wähle in einer Aufgabe eine der drei Formeln so, dass sie am leichtesten zu berechnen ist.

Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ gilt:

\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b

(Die Formel $A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c$ gilt natürlich immer noch.)

Sonderfall: gleichseitiges Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge $a$ gilt:

\displaystyle A_{\Delta}=\frac{a^2}{4}\cdot \sqrt 3

Dreiecksfläche mit dem Sinus berechnen

Wenn man bereits den Sinus kennt, kann man die Fläche eines Dreiecks auch mit folgenden Angaben berechnen:

zwei Seitenlängen und
dem Sinus des dazwischenliegenden Winkels

Also z.B.:

$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$ ODER

Statt $\gamma$ kann natürlich auch jeder andere Winkel des Dreiecks betrachtet werden, und daher kann die Formel auch wieder in drei verschiedenen Formen auftreten:

Winkel	Formel	Darstellung
$\alpha$	$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot c \cdot \sin \alpha$
$\beta$	$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot c \cdot \sin \beta$
$\gamma$	$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$

Dreiecksfläche mit dem Kreuzprodukt oder der Determinante berechnen

Diese Methode funktioniert nur, wenn das Dreieck in einem Koordinatensystem gegeben ist.

Die Formel lautet:

\displaystyle A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|

Du bestimmst also die Verbindungsvektoren $\overrightarrow {AB}$ und $\overrightarrow {AC}$ .
Dann berechnest du deren Kreuzprodukt und ...
bestimmst die Länge (also den Betrag) des berechneten Vektors.
Durch Halbieren dieses Werts erhältst du den Flächeninhalt des Dreiecks.

Mehr zum Thema findest du im Artikel Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem

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